Bestimme die Extremstellen der

Question

Aufgabe:

Es seien $$ p, q ∈ \mathbb{R}_{>1}$$ mit $$\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = 1$$

Bestimme die Extremstellen der Funktion

$$ f: \mathbb{R}_{>0}^2 \rightarrow \mathbb{R} : x \rightarrow \frac{x_{1}^p}{p} + \frac{x_{2}^q}{q}$$

unter der Nebenbedingung:

$$x_1x_2 = 1$$

Folgere daraus für $$u,v >0$$ Die Höldersche Ungelichung: $$ \frac{u^p}{p} + \frac{v^q}{q} \geq uv$$

Ich hatte mir überlegt ob man das mit dem Lagrange Verfahren lösen kann. Muss ich dann das $$\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = 1$$

auch als Nebendingung auffassen. Oder ist mein Ansatz schlecht?

Answer 1

Hallo,

Muss ich dann das $$\frac{1}{p} +\frac{1}{q} = 1$$auch als Nebendingung auffassen.

Nein, musst (darfst) Du nicht, da \(p\) und \(q\) nicht die Variablen sind, von denen die Funktion abhängig ist. Die Variablen von \(f\) sind \(x=(x_1,\,x_2)^T\). Eine Nebenbedingung gibt stets eine Einschränkung dieser Variablen an.

Also wie in der Aufgabenstellung angegeben:

unter der Nebenbedingung:$$x_1x_2 = 1$$

ist dies die Nebenbedingung und die Lagrange-Gleichung lautet dann$$L(x_1,x_2,\lambda) = \frac{x_{1}^p}{p} + \frac{x_{2}^q}{q} + \lambda(x_1x_2-1)$$was dann nach Ableiten und Eliminieren von \(\lambda\) zu $$x_1^{p} = x_2^{q}$$ führt. Und mit Einsetzen in die Nebenbedingung zu$$x_1=x_2=1$$Unabhängig von \(p\) und \(q\)!

https://www.desmos.com/calculator/gmx7u5542r

Oben siehst Du die Höhenlinien von \(f\) (in blau) - mit \(p=4\) und \(q=2,9\). Richtung Ursprung wird der Wert von \(f\) immer kleiner. Der rote Graph gibt die Nebenbedinung an und auf diesem Graphen ist \(f\) dort am kleinsten, wo der Graph eine Höhenlinie berührt.

Den schwarzen Punkt kann man mit der Maus verschieben. Es wird der lokale Wert von \(f\) angezeigt.

Erst für die die Höldersche Ungleichung ist die Bedingung \(1/p+1/q=1\) nötig. Sollte da noch was unklar sein, so melde Dich bitte.

Gruß Werner