Bestimmen Sie alle lokalen Extrema

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie die Funktion \( f:[-4,0] \rightarrow \mathbb{R} \) mit \(\displaystyle f(x):=\frac{x^{2}+4 x+4}{x^{2}-4 x+4} \).

(i) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema und Extremalstellen von \( f \).

(ii) Überprüfen Sie ob \( M=\max _{[-4,0]} f \) bzw. \( m=\min _{[-4,0]} f \) existieren und geben Sie gegebenenfalls \( m \) bzw. \( M \) an.

(iii) Geben Sie maximale Intervalle an, auf denen die Funktion monoton wachsend bzw. fallend ist. Untersuchen Sie dabei auch auf strikte Monotonie.

Problem/Ansatz:

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Ich habe eine Frage zu dem Rand überprüfen. Es wäre doch dann immer an beiden Rändern ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt oder nicht? Also für   f´(-4) erhalte ich -2/27 also muss hier ein lokales Minimum vorliegen und für f´(0) erhalte ich 0,5 und da es am rechten Rand ist liegt ein Hochpunkt vor? Also wäre einzig bei dem Ergebnis 0 kein Extremum?

Answer 1

(i) Nullstellen der Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis positiv, dann ist an der Nullstellen der Ableitung ein Tiefpunkt. Ist das Ergebnis negativ, dann ist an der Nullstellen der Ableitung ein Hochpunkt.

Außerdem den Rand überprüfen. Ist am linken Rand die Ableitung positiv, dann ist dort ein Tiefpunkt. Ist am linken Rand die Ableitung negativ, dann ist dort ein Hochpunktpunkt. Für den rechten RAnd gilt entsprechend umgekehrtes.

(ii) Die Funktion ist auf einem kompakten Intervall definiert und stetig. Also nimmt sie Maximum und Minimum an.

(iii) Zwischen zwei benachbarten Extremstellen ist die Funktion streng monoton.

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Ich habe eine Frage zu dem Rand überprüfen. Nach deiner Beschreibung wäre doch dann immer an beiden Rändern ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt oder nicht? Also für    f´(-4) erhalte ich -2/27 also muss hier ein lokales Minimum vorliegen und für f´(0) erhalte ich 0,5 und da es am rechten Rand ist liegt ein Hochpunkt vor? Also wäre einzig bei dem Ergebnis 0 kein Extremum?

Answer 2

Man muss hier nicht unbedingt ableiten. Der Funktionsterm hat die Form\( \frac{(x+2)^2}{(x-2)^2} \) und ist damit prinzipiell schon mal nichtnegativ. Das Minimum liegt somit vor, wenn der Zähler 0 ist. x=2 hingegen ist Polstelle ohne Vorzeichenwechsel mit beidseitiger Annäherung an +∞.

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Ich habe eine Frage zu dem Rand überprüfen. Es wäre doch dann immer an beiden Rändern ein Tiefpunkt oder ein Hochpunkt oder nicht? Also für   f´(-4) erhalte ich -2/27 also muss hier ein lokales Minimum vorliegen und für f´(0) erhalte ich 0,5 und da es am rechten Rand ist liegt ein Hochpunkt vor? Also wäre einzig bei dem Ergebnis 0 kein Extremum?