Aloha :)
Uns ist eine Funktion \(f(x;y)\) und eine nicht-konstante Nebenbedingung vorgegeben:$$f(x;y)=x^2y-2xy+y+1\quad;\quad (x-1)^2+(y-2)^2\le1$$Die Funktion können wir etwas geschickter schreiben:$$f(x;y)=(x-1)^2y+1$$
Die Nebenbedingung beschreibt eine Kreisfläche mit Radius \(1\) und Mittelpunkt \(M(1|2)\). Die Argumente \((x;y)\) für die Funktion müssen innerhalb dieser Kreisfläche (oder auf dem Rand) liegen.
1) Extrema ohne Nebenbedingung
Wir bestimmen zunächst die Extrema der Funktion \(f(x;y)\) ohne Beachtung der Nebenbedingung und prüfen anschließend, ob diese Extrema auch die Nebenbedingung erfüllen. Kandidaten für Extrema finden wir dort, wo der Gradient der Funktion verschwindet:$$\operatorname{grad}f(x;y)\stackrel!=\vec 0\implies\binom{2(x-1)y}{(x-1)^2}\stackrel!=\binom{0}{0}$$
Aus der Gleichung für die 2-te Koordinante folgt \(x=1\). Dann ist die 1-te Koordinate automatisch Null, sodass \(y\in\mathbb R\) beliebig sein kann. Unsere Kandidaten für Extrema sind also alle Punkte auf der Geraden \(x=1\).
Orthogonal zu dieser Geraden \(x=1\) (also in x-Richtung) ändert sich die Funktion um:$$df=\frac{\partial f}{\partial x}\,dx=2(x-1) y\,dx$$Bei festgehaltenem \(y\) wechselt daher die Änderung \(df\) ihr Vorzeichen bei \(x=1\). Daher sind fast alle unsere Kandidaten \(K(1|\mathbb R)\) Sattelpunkte. Einzige Ausnahme könnte nach dieser Argumentation der Punkt \((1|0)\) sein. Den brauchen wir aber nicht näher zu untersuchen, da er die Randbedingung verletzt.
2) Extrema mit konstanter Nebenbedingung
In (1) haben wir festgestellt, dass \(f\) keine Extremwerte in \(\mathbb R^2\setminus\{(1|0)\}\) hat. Trotzdem könnte die Funktion noch Extrema am Rand ihres Definitionsbereichs haben, also auf dem Rand des Kreises, der den Definitionsberech begrenzt. Dazu suchen wir mit dem Lagrange-Verfahren die Extrema der Funktion \(f(x;y)\) unter der konstanten Nebenbedinngung, die den Kreisrand beschreibt:$$f(x;y)=(x-1)^2y+1\quad;\quad g(x;y)=(x-1)^2+(y-2)^2\stackrel!=1$$
Nach Lagrange muss in einem Extremum der Gradient von \(f\) eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine solche Nebenbedingung \(g\) haben, heißt das, dass die beiden Gradienten kollinear sein müssen:$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\cdot\operatorname{grad}g(x;y)\implies\binom{2(x-1)y}{(x-1)^2}=\lambda\binom{2(x-1)}{2(y-2)}$$Zwei Vektoren sind genau dann kollinear, wenn sie keine Fläche aufspannen, wenn also die entsprechende Determinante verschwindet:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{cc}2(x-1)y & 2(x-1)\\(x-1)^2 & 2(y-2)\end{array}\right|=2(x-1)\left|\begin{array}{cc}y & 1\\(x-1)^2 & 2(y-2)\end{array}\right|$$$$\phantom 0=2(x-1)(\,(2y^2-4y)-(x-1)^2\,)$$Wir erhalten 2 Lagrange-Forderungen, von denen mindestens eine erfüllt sein muss:$$\pink{x=1}\quad\lor\quad\green{(x-1)^2=2y^2-4y}$$
Wir setzen die pinke Forderung in die Nebenbedingung ein:$$\pink{x=1}\implies (\pink1-1)^2+(y-2)^2=1\implies(y-2)^2=1\implies y=1\;\lor\;y=3$$und erhalten 2 Kandidaten für Extrema:$$K_1(1|1)\quad;\quad K_2(1|3)$$
Wir setzen die grüne Forderung in die Nebenbedingung ein:$$\green{(x-1)^2=2y^2-4y}\implies\green{2y^2-4y}+(y-2)^2=1\implies3y^2-8y+4=1$$$$\quad\implies y^2-\frac83y+1=0\implies y_{1;2}=\frac43\pm\sqrt{\frac{16}{9}-1}\implies y_{1;2}=\frac{4\pm\sqrt7}{3}$$Das setzen wir wieder in die grüne Lagrange-Bedingung ein:$$(x-1)^2=\frac29(2\sqrt7-1)\quad\lor\quad\cancel{(x-1)^2=-\frac29(1+2\sqrt7)}$$Der zweite Fall eintfällt, da Quadratzahlen in \(\mathbb R\) nie negativ sind.
Zusammengefasst liefert uns die grüne Bedingung 4 weitere Kandidaten:$$K_{3;4;5;6}\left(1\pm\frac13\sqrt{4\sqrt7-2}\,\bigg|\;\frac{4\pm\sqrt7}{3}\right)$$
Ich erhalte durch Einsetzen in die Funktionsgleichung:$$f(1;1)=1\quad\text{(globales Rand-Minimum)}$$$$f(1;3)=1\quad\text{(globales Rand-Minimum)}$$$$f(0,02344112;0,45141623)=1,4305\quad\text{(kein Rand-Extremum)}$$$$f(0,02344112;2,21525044)=3,1126\quad\text{(globales Rand-Maximum)}$$$$f(1,97655888;0,45141623)=1,4305\quad\text{(kein Rand-Extremum)}$$$$f(1,97655888;2,21525044)=3,1126\quad\text{(globales Rand-Maximum)}$$
Auf dem Rand müssen sich Minima und Maxima abwechseln. Zwischen den beiden globalen Rand-Minima und den beiden globalen Rand-Maxima müssten also mindestens 2 weitere lokale Extrema liegen. Da wir aber nur jeweils einen Kandidaten dazwischen haben, können diese keine Rand-Extrema sein.
