Die Funktion \( f \) sei gegeben durch\( f(x)=\frac{\ln x}{x} \quad \text { für alle } x \in(0, \infty) . \)a) Bestimmen Sie die lokalen Extremstellen von \( f \).b) Berechnen Sie den Grenzwert von \( f(x) \) für \( x \rightarrow 0+ \) und \( x \rightarrow \infty \).c) Hat \( f \) ein globales Maximum oder ein globales Minimum?
a) f(x)=\( \frac{lnx}{x} \)
\( \frac{d y}{d x}=\frac{\frac{1}{x} \cdot x-\ln (x) \cdot 1}{x^{2}}=\frac{1-\ln (x)}{x^{2}} \)
\( \begin{array}{l} \frac{1-\ln (x)}{x^{2}}=0 \\ \ln (x)=1 \mid e \\ e^{\ln (x)}=e^{1} \\ x=e \rightarrow \rightarrow f(e)=\frac{\ln (e)}{e}=\frac{1}{e} \end{array} \)
Art des Extremum
\( \left[\frac{1-\ln (x)}{x^{2}}\right] \cdot=\frac{\left(-\frac{1}{x}\right) \cdot x^{2}-(1-\ln (x)) \cdot 2 x}{x^{4}}=\frac{-x-2 x+2 x \ln (x)}{x^{4}}=\frac{-3+2 \ln (x)}{x^{3}} \)
Hier nun \( e \) einsetzen:
\( \frac{-3+2 \ln (e)}{e^{3}}=\frac{-1}{e^{3}}<0 \rightarrow \text { lokales Maximum } \)
b)\( x \rightarrow 0+ \)
| 0,01 | 0,02 | 0,3 | 0,4 |
≈-460,5
| ≈-195,6
| ≈-4,01
| ≈-2,3 |
\( x \rightarrow 0+ \) strebt gegen -∞
Mit der Regel von l´Hospital
\( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{lnx}{x} \)=\( \lim\limits_{x\to\infty} \)\( \frac{1}{x} \)=0
c) Hat \( f \) ein globales Maximum oder ein globales Minimum?
Das globale Maximum ist das lokale Maximum. Ein globales Minimum gibt es nicht.
