Vektorrechnung und analytische Geometrie hilfe

Question

14 Von einer Pyramide ABCDP mit der quadratischen Grundfläche \( A B C D \) und der Spitze \( \mathrm{P} \) wurde eine kleine Pyramide so abgetrennt, dass der verbliebene Restkörper der in Fig. 1 in einem kartesischen Koordinatensystem dargestellte Pyramidenstumpf ist.
a) Ermitteln Sie mithilfe der Vektorrechnung die Länge einer Seitenkante der ursprünglichen Pyrarnide. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis elementargeometrisch. Ermitteln Sie, welche Koordinaten der Punkt \( \mathrm{P} \) in diesem Koordinatensystem gehabt hätte.

Problem/Ansatz:

Was ist in der Aufgabe 14a gemeint, wenn es darum geht, das Ergebnis elementargeometrisch zu überprüfen? Und wie kann ich die Koordinaten des Punktes P erhalten? Ich habe alle anderen Aufgaben selbst gelöst, aber ich verstehe nicht, wie ich Aufgabe 14a machen soll.

kann man die Lange nicht so berechnen?

\( \begin{array}{l}\overrightarrow{B A} \\ \vec{x}=\left(\begin{array}{ll}6 & -0 \\ 0 & - \\ 0 & -0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \quad \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right) \rightarrow(\vec{x})=\sqrt{6^{2}+0^{2}+0^{2}}=6\end{array} \)

Answer 1

Was ist in der Aufgabe 14a gemeint, wenn es darum geht, das Ergebnis elementargeometrisch zu überprüfen?

Laut zweitem Strahlensatz gilt

        \(\frac{\overline{AP}}{\overline{AP}-\overline{AE}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{EF}}\).

Dabei kannst du \(\overline{AB}\) und \(\overline{EF}\) quasi aus den Koordinaten ablesen und \(\overline{AP}\) sowie \(\overline{AE}\) mittels Satz des Pythagoras bestimmen (Raumdiagonale in einem Quader mit \(A\) als einem Eckpunkt und \(P\) bzw. \(E\) als gegenüberliegendem Eckpunkt).

Und wie kann ich die Koordinaten des Punktes P erhalten?

Der Punkt \(P\) ist der Schnittpunkt der Geraden \(AE\) und \(BF\).

kann man die Lange nicht so berechnen?\( \overrightarrow{B A} =\dots\)

Nein, \(BA\) ist keine Seitenkante der ursprünglichen Pyramide, sondern eine Kante der Grundfläche. Eine Seitenkante der ursprünglichen Pyramide ist zum Beispiel \(AP\).

Comments

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\vec{x}-O A+A E \\ \vec{x}=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+r\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 5\end{array}\right) \\ \vec{x}=O B+B F \\ \vec{x}=\left(\begin{array}{l}6 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)+S\left(\begin{array}{c}-1 \\ 5 \\ 5\end{array}\right) \\ S p=\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 15\end{array}\right)\end{array} \)

Also Punkt P hat Koordinaten (3,3,15)

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Text erkannt:

\( \vec{x}-\left(\begin{array}{l}3 \\ 3 \\ 15\end{array}\right) \rightarrow|\vec{x}|=\sqrt{3^{2}+3^{2}+15^{2}}=15.58 m \)

Und die Lange ist dann quasi 15,58m

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Die Länge ist \(\sqrt{243}\), das ungefähr 15,59 ist. Mir ist nicht ganz klar, woher du das \(m\) genommen hast.

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ich meine Meter) oder gar nichts schreiben?

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wie kann ich eigentlich Vektoren dividieren? oder mach ich etwas falsch?)

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Entweder du rechnest durchgängig mit Einheiten:

        \(\sqrt{(3\mathrm{m})^2 + (3\mathrm{m})^2+(15\mathrm{m})^2}\approx 15,59\mathrm{m}\)

oder durchgängig ohne Einheiten:

      \(\sqrt{3^2+3^2+15^2}\approx 15,59\).

Falls die Angaben in der Aufgabenstelllung eine Einheit haben, dann darfst du ohne Einheiten rechnen und kenntlich machen, dass es sich um Maßzahlen in der angegebenen Einheit handelt:

      \(\sqrt{3^2+3^2+15^2}\approx 15,59\qquad [\mathrm{m}]\)

aber nicht einfach die Zahl \(\sqrt{3^2+3^2+15^2}\) in eine Größe \(15,59\mathrm{m}\) umwandeln.

Wo steht in der Aufgabenstellung, dass es sich bei den Zahlen um Maßzahlen in der Einheit Meter handelt?

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Man kann nicht durch Vektoren dividieren.

\(\overline{AP}\) ist die Länge der Strecke von \(A\) nach \(P\).

\(\vec{AP}\) ist der Vektor von \(A\) nach \(P\).

\(|\vec{AP}|\) ist die Länge des Vektors von \(A\) nach \(P\).

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Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\frac{A P}{A P-A E}=\frac{A B}{E F} \\ \frac{15,59}{15,59-5,20}=\frac{6}{4} \\ =1,5=1,5\end{array} \)

Und so habe ich 1,5 links und 1,5 rechts, aber was bedeutet das?

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Das bedeutet, dass das von dir berechnete \(P\) von \(E\) den gleichen Abstand hat, wie das korrekte \(P\).

Wenn du entsprechende Rechnungen noch für zwei weitere Seitenkanten aufstellst und ebenfalls 1,5 als Ergebnisse bekommst, dann kannst du ziemlich sicher sein, dass das von dir berechnete \(P\) das korrekte \(P\) ist.

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Kann ich eigentlich zwei weitere Seitenkanten berechnen? mit DH und CG?