Das ist eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten. Deshalb Ansatz \(x(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}\).
Dann bekommst du die Gleichung
\(m\lambda^2\mathrm{e}^{\lambda t} + d\lambda\mathrm{e}^{\lambda t}+k\mathrm{e}^{\lambda t} = 0\)
welche sich zu
\(m\lambda^2 + d\lambda+k = 0\)
vereinfachen lässt. Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind
\(\lambda = \frac{-d\pm\sqrt{d^2 - 4km}}{2m}\)
Eine reelle Lösung \(\lambda\):
\(x(t) = \mathrm{e}^{\lambda t}\) oder \(x(t) = t\cdot \mathrm{e}^{\lambda t}\)
Zwei reelle Lösungen \(\lambda_1\), \(\lambda_2\):
\(x(t) = \mathrm{e}^{\lambda_1 t}\) oder \(x(t) = \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\)
Zwei komplexe Lösungen \(\lambda = a\pm b\mathrm{i}\):
\(x(t) = \mathrm{e}^{at}\cos(bt)\) oder \(x(t) = \mathrm{e}^{at}\sin(bt)\)
Weil es sich um eine homogene Gleichung handelt, sind Linearkombinationen von Lösungen \(x_1(t)\), \(x_2(t)\) ebenfalls eine Lösung. Allgemein hat die Lösung also die Form
\(x(t) = c_1\cdot x_1(t) + c_2\cdot x_2(t)\).
