Es wird verlangt den Real- und Imaginärteil zu berechnen von (1+i)^6

Question

Bestimmen Sie den Realteil und Imaginärteil von (1 + i)^6.

Comments

Als Alternative zu der bereits vorhandenen Lösung, könntest Du \(z=i+6\) zuerst in die Polarform umwandeln, wodurch das Potenzieren erleichtert wird. Anschließend kannst Du wieder die kartesische Form herstellen und \(\Re(z)\) bzw. \(\Im(z)\) ablesen.

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Erstmal Danke für die Hilfe. Wenn ich das über die Polarform rechne dann komme ich ja auf (√2 ·e^{i*1/4 π}) und das alles dann ()⁶ - wie genau berechne ich das ganze ab da dann genau? Mit Potenzgesetzen habe ich dann die Hoch 6 mit hinein gerechnet aber ab da hakt es dann bei mir... 

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Es ist \(z=i+1\). Um \(\left(\sqrt{2}\cdot e^{i\cdot 0.25\pi}\right)^6\) zu berechnen, wendest Du erstmal die Potenzgesetze an:

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\(=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}\)

\(=(\sqrt{2})^6\cdot e^{i\cdot 0.25\pi\cdot 6}\)

\(=8\cdot e^{i\cdot 1.5\pi}\)

[/spoiler]

Nun rechnest Du das Ergebnis wieder in die kartesische Form zurück:

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\(z^6=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))\)

\(=8\cdot (\cos(1.5\pi)+i\cdot \sin(1.5\pi))\)

\(=8\cdot (0-8i)\)

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Daraus folgt:

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\(\Re(z^6)=0\) und \(\Im(z^6)=-8\)

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Answer 1

z= (1+i)^6 =(1+i)^2 *(1+i)^2 *(1+i)^2

= 2i *2i *2i

=  -8i 

->

Re(z)= 0

Im (z) -8

Answer 2

Der Binomische Satz kann helfen

(a + b)^6 = a^6 + 6·a^5·b + 15·a^4·b^2 + 20·a^3·b^3 + 15·a^2·b^4 + 6·a·b^5 + b^6

(1 + i)^6 = 1 + 6·i - 15 - 20·i + 15 + 6·i - 1 = - 8·i

Noch einfacher durch Umwandlung in die e-Notation

1 + i = √2·e^{45°·i}

(1 + i) = (√2·e^{45°·i})^6 = 8·e^{270°·i} = - 8·i