Real- und Imaginärteil sind zu bestimmen -3(i+2)^3+ 2i/(5i+2)

Question

Die Aufgabe lautet: Bestimme den Real und Imaginärteil der komplexen Zahl:

z= -3(i+2)^3 + 2i/(5i+2)

Für z2= 2i/(5i+2) hab ich folgendes:

=(2i)*(5i-2)/(5i+2)*(5i-2) = (10i-4i)/(25i) = 6/25i

Ist das richitg?

Für z1= -3(i+2)^3 hab ich folgendes:

= -3(i^3+6i+8) = -3i^3-18i-24

Also wäre

z= -24-15,24i die Lösung.

Aber irgendwie hab ich kein gutes Gefühl bei der Lösung.

 

Answer 1

Hi,

passt leider wieder nicht. Du willst doch (bei z2) nen reellen Nenner. Das aber bastelst Du nicht!

Schreibe (5i+2) als (2+5i), wenn Dir das einfacher fällt ;).

-3(i+2)^3 + 2i/(5i+2)

Erster Term:

-3(i+2)^3 = -3(2+11i) = -6-33i

Zweiter Term:

2i/(2+5i) = (2i(2-5i))/29 = (4i+10)/29

Addieren der beiden Ausdrücke:

-6-33i + 4i/29+10/29 = -164/29-953/29i

Realteil: -164/29

Imaginärteil: -953/29


Grüße

Comments

Wie kommst du beim ersten Term auf:

-3(2+11i) ?

Das kapier ich nicht. :-(

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Einfach ausmultiplizieren ;).

(i+2)^3 = (i+2)(i+2)^2 = (i+2)(i^2+4i+4) = (i+2)(4i+3) = 4i^2+3i+8i+6 = 11i+2


Klar? :)

Üb das mal! Ist wichtig solche Kleinigkeiten ausrechnen zu können.

Answer 2

Vorbemerkung:

Wenn du hier Brüche hinschreibst, musst du unbedingt durch geeigente Klammerung klarstellen, was im Zähler und was im Nenner stehen soll - man muss sonst raten ...

 

Aber irgendwie hab ich kein gutes Gefühl bei der Lösung.

Zu Recht, sie ist leider völlig falsch.

z2 = 2 i / ( 5 i + 2 )

= 2 i ( 5 i - 2 ) / ( ( 5 i + 2 ) * ( 5 i - 2 ) )

= ( 2 i * 5 i - 2 i * 2 ) / ( 5 * i * 5 i - 4 )

[Es gilt: i * i = - 1 , also:]

= ( - 10 - 4 i ) / ( - 25 - 4 )

= ( 10 / 29 ) + ( 4 i / 29 )

= ( 10 / 29 ) + ( 4 / 29 ) * i

 

z1 = - 3 ( i + 2 ) ³

Hier musst du aufpassen beim Ausmultiplizieren. Es handelt sich um einen kubischen Term, da kannst du nicht einfach "irgendwie" die binomischen Formeln anwenden. Tatsächlich gilt:

( a + b ) ³ = a ³ + 3 a² b + 3 a b ² + b ³

also:

z1 = - 3 ( i ³ + 3 * i ² * 2 + 3 * i * 2 ² + 2 ³ )

Es gilt: i ² = - 1 und daher  i ³ = i ² * i = - i , also:

= - 3 ( - i - 6 + 12 i + 8 )

= - 3 ( 11 i + 2 )

= - 33 i - 6 

Also:

z = z1 + z2

= - 33 i - 6 +  ( 10 / 29 ) + ( 4 / 29 ) * i

= - ( 164 / 29 ) - ( 953 / 29 ) i