E Funktion, Tangenten herausfinden .

Question

Aufgabe:

Tangenten
Gegeben ist die Funktion \(f(x) =  e^{x}  - x\). Sie beschreibt den Verlauf einer Autobahn.
a) Besitzt f Extrema und Wendepunkte?
b) Schließen Sie aus den Ergebnissen, dass f keine
Nullstellen besitzt.

c) Vom Bahnhof B(0 0) führt ein Zubringer zum Punkt P(1 f(1)) der Autobahn. Zeigen Sie, dass dieser Zubringer tangential in die Autobahn mündet.
Wie lange benötigt ein 30 km/h schnelles Fahr-Bahnliniezeug vom Bahnhof bis zur Autobahn?

d) Wie viel Hektar Fläche hat das Grundstück zwischen Straße, Zubringer und Bahnlinie?

(1 Hektar = 10000 m^2)

Problem/Ansatz:

Ich verstehe Aufgabe c und d nicht, könntet ihr bitte den rechenweg aufschreiben, brauche es dringend für eine Präsentation. :)

Answer 1

c) Vom Bahnhof \(B(0| 0)\) führt ein Zubringer zum Punkt \(P(1| f(1))\) der Autobahn. Zeigen Sie, dass dieser Zubringer tangential in die Autobahn mündet.
Wie lange benötigt ein 30 km/h schnelles Fahr-Bahnliniezeug vom Bahnhof bis zur Autobahn?

\(f(x) =  e^{x}  - x\)

\(f´(x) =  e^{x}  - 1\)

\(P(1| e - 1)\)

\(f´(1) =  e^{1}  - 1=e-1\)

Tangentengleichung:

\( \frac{y-(e - 1)}{x-1}= e-1\)

\( y= (e-1)*(x-1)+(e - 1)=(e-1)*(x-1+1)=(e-1)*x\)

Comments

Wie lange benötigt ein 30 km/h schnelles Fahr-Bahnliniezeug vom Bahnhof bis zur Autobahn?

Satz des Pythagoras:

\( BP^{2}=(e-1)^{2} +1^2\)

\( BP=\sqrt{(e-1)^{2} +1}=\sqrt{e^2-2e+1+1}≈1,988km\)

Nun die Zeit hierfür ausrechnen.