Integrierender Faktor, Bernoulli DGL

Question

Aufgabe:

Ich muss zeigen, dass M(x,y) =y^(-2) e^∫a(x) dx ein integrierenden Faktor für die Bernoulli DGL ist also für
y′=a(x)y+b(x)y²

Problem/Ansatz:

Hat jemand eine Idee dazu, wie ich das machen könnte?

Danke im Voraus,

liebe Grüße

Answer 1

Schreibe die DGL in Differentialform:

$$(ay+by^2)dx - dy = 0$$

Multipliziere mit M:

$$\underbrace{M(ay+by^2)}_{=P}dx + \underbrace{(-M)}_{=Q}dy = 0$$

Zeige nun, dass

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$$

Zur Abkürzung setze ich \(A = A(x) = \int a(x) \; dx\):

$$\frac{\partial}{\partial y}(M(ay+by^2)) = e^{A}\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac ay + b\right)= -\frac a{y^2}e^A$$

$$\frac{\partial}{\partial x}(-M) = -\frac 1{y^2}\frac{\partial}{\partial x}(e^A) = -\frac a{y^2}e^A$$

Fertig.