Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene.

Question

Aufgabe:

Die Punkte A, B und C legen eine Ebene fest. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung dieser Ebene. Liegt der Punkt D(- 7|1| 3) in dieser Ebene?

A(-1|2|0) B(- 3|1|1) C(1|-1| - 1)

Problem/Ansatz:

Ich habe als Ergebnis raus, dass D nicht in der Ebene liegt? Kann jemand nochmal nachrechnen, ich bin mir unsicher...

Answer 1

Hallo,

Ich habe als Ergebnis raus, dass D nicht in der Ebene liegt? Kann jemand nochmal nachrechnen, ich bin mir unsicher...

doch der Punkt \(D\) liegt in der Ebene der drei Punkte A, B und C; wie hier zu sehen ist:

(klick auf das Bild, dann kannst Du die Szene mit der Maus rotieren und bekommst einen besseren räumlichen Eindruck)

Eine Ebenengleichung ist:$$E:\quad x =A + r\vec{AB} + s\vec{AC}= \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}-2\\ -1\\ 1\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}2\\ -3\\ -1\end{pmatrix}$$und mit \(r=2,5\) und \(s=-0,5\) landet man bei \(D\).

Kannst Du Deine Rechnung hier posten?

Gruß Werner

Comments

Ebenengleichung hinzu gefügt.

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Hallo! Ich habe es nur etwas anders gerechnet.Die Ebenengleichung habe ich auch rausbekommen :) Aber dann habe ich das Kreuzprodukt benutzt und die Normale \( \vec{a} \) =\( \begin{pmatrix} 4\\0\\8 \end{pmatrix} \) ausgerechnet. Dann habe ich für x₁= -7 und für x₃= -8, das stimmt nicht mit D überein... Aber deine Rechnung macht auch Sinn!

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Du kannst das auch mit der Normalenform der Ebene machen. Das ist genauso richtig. Der Normalenvektor $$\vec{a}=\begin{pmatrix} 4\\0\\8 \end{pmatrix} $$ ist korrekt. Den musst Du mit einem der drei Punkte multiplizieren; z.B. mit \(A\):$$\begin{pmatrix} 4\\0\\8 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix}-1\\ 2\\ 0\end{pmatrix} = 4\cdot(-1)+0\cdot 2 + 8 \cdot 8 = -4$$\(D\) liegt genau dann in der Ebene, wenn bei der Multiplikation mit \(\vec{a}\) der gleiche Wert raus kommt:$$\vec{a}^T \cdot D = \begin{pmatrix} 4\\0\\8 \end{pmatrix}^T \cdot \begin{pmatrix} -7\\1\\3 \end{pmatrix} = 4\cdot(-7) + 0 \cdot 1 + 8 \cdot 3 = -28+24=-4$$passt, \(D\) liegt in der Ebene.

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Die Normalengleichung der Ebene ABC lautet doch:$$E:\quad \begin{pmatrix} 4\\0\\8 \end{pmatrix}^T \cdot \vec{x} = -4$$Jeder Punkt \(\vec{x}\), der diese Gleichung erfüllt, liegt in der Ebene.

Answer 2

(1) -a+2b=1

(2) - 3a+c+c=1

(3) a - b - c=1

Löse dies System und setze in ax+by+cz=1 ein (oder in ax₁+bx₂+cx₃=1).

Comments

Löse dies System und setze in ax+by+cz=1 ein (oder in ax1+bx2+cx3=1).

Die Lösung wäre \((a,b,c)=(-1,\,0,\,-2)\); Einsetzen bringt $$-x-2z=1$$ ... und jetzt? Ich nehme an, die Koordinaten von \(D\) einsetzen und prüfen, ob die Gleichung aufgeht. (Was sie tut!)

Interessante Vorgehensweise; ich denke auch, ich habe es jetzt verstanden, was da passiert. Aber vielleicht hast Du für louiss noch ein paar erklärende Worte übrig ;-)