Wie lässt sich eine Basis dieser linearen Abbildung finden?

Question

Aufgabe:

sei Pn(ℝ) Vektorraum aller Polynome von Grad ≤ n mit reellen
Koeffizienten

K : Pn → Pn: p ↦ p'

lineare Abbildung und p' ist die Ableitung von p

Wie lässt sich eine Basis von Pn/Ker(K) bestimmen und was muss für zwei Polynome l und m aus Pn gelten, damit ihre [l] und [m] Restklassen Pn/Ker(K) linear unabhängig sind?

Problem/Ansatz:

der Kern sind Konstanten die beim Ableiten wegfallen

Answer 1

der Kern sind Konstanten die beim Ableiten wegfallen

Überlege dir, was das für die Elemente von Pn/Kern(K) bedeutet.

Insbesondere, wann sind p und q in der gleichen Restklasse?

Wähle dann aus jeder Restklasse einen möglichst einfachen Representanten, Dann springt einem eine Basis eigentlich direkt ins Auge, zumindest wenn man eine Basis von Pn kennt.

Comments

Kannst du mal ein Beispiel für eine Restklasse geben bzw. ein Beispiel kann mir gerade nichts darunter vorstellen

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Sind die Elemente aus Pn/Kern(K) auch nur Konstanten, so dass die Basis nur aus einer Konstante besteht?

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Sind die Elemente aus Pn/Kern(K) auch nur Konstanten,

Die Elemente von Pn/Kern(K) sind noch nicht ein mal Polynome, sondern Mengen, nämlich Nebenklassen.

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Könntest du ein Beispiel geben für solch eine Nebenklasse?

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Ein paar Beispiele von Nebenklassen für \(n = 7\):

\(\{p\in P_7 |\ \exists c\in \mathbb{R}:\ p = -8+c\}\)

\(\{p\in P_7 |\ \exists c\in \mathbb{R}:\ p = x^2 + 3x + c\}\)

\(\{p\in P_7 |\ \exists c\in \mathbb{R}:\ p = 13x^6 + 7x^6 - 3x^5 - 9x^4+c\}\)

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Ich komm leider nicht drauf.