Aufgabe:
Für welche zwei werte von a lässt sich keine Linearkombination darstellen?
Problem/Ansatz:
Wie rechne ich aus, für welche zwei a's sich keine Linearkombination darstellen lässt?
Gegeben ist die Matrix A=
A = 1 0 a
2 2 4
a 1 2
Aloha :)
Die Frage ist etwas irreführend. Es gibt zwei Werte für \(a\), bei denen die 3 Vektoren linear abhängig sind. Diese findest du durch Nullsetzen der Determinante:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & a\\2 & 2 & 4\\a & 1 & 2\end{array}\right|=(2\cdot2-1\cdot4)+a(2\cdot1-2\cdot a)=2a(1-a)$$Die beiden Werte für \(a\) sind also \(a=0\) und \(a=1\).
Wie bist du auf die Rechnung gekommen bzw wie hast du das berechnet?
Ich habe die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt...
Ja, aber wie hast du dann a=1 und a=0 berechnet?
Die Determinante habe ich berechnet, aber ich weiss nicht wie man auf 0 und 1 kommt?
Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann null, wenn einer der Faktoren gleich null ist:$$2a\cdot(1-a)=0$$Der erste Faktor \(2a\) ist null für \(a=0\) und der zweite Faktor \((1-a)\) ist null für \(a=1\).
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