Für welche zwei Werte von a lässt sich keine Linearkombination darstellen?

Question

Aufgabe:

Für welche zwei werte von a lässt sich keine Linearkombination darstellen?

Problem/Ansatz:

Wie rechne ich aus, für welche zwei a's sich keine Linearkombination darstellen lässt?

Gegeben ist die Matrix A=

A =   1 0 a

    2 2 4

    a 1 2

Answer 1

Aloha :)

Die Frage ist etwas irreführend. Es gibt zwei Werte für \(a\), bei denen die 3 Vektoren linear abhängig sind. Diese findest du durch Nullsetzen der Determinante:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}1 & 0 & a\\2 & 2 & 4\\a & 1 & 2\end{array}\right|=(2\cdot2-1\cdot4)+a(2\cdot1-2\cdot a)=2a(1-a)$$Die beiden Werte für \(a\) sind also \(a=0\) und \(a=1\).

Comments

Wie bist du auf die Rechnung gekommen bzw wie hast du das berechnet?

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Ich habe die Determinante nach der ersten Zeile entwickelt...

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Ja, aber wie hast du dann a=1 und a=0 berechnet?

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Die Determinante habe ich berechnet, aber ich weiss nicht wie man auf 0 und 1 kommt?

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Nach dem Satz vom Nullprodukt ist ein Produkt genau dann null, wenn einer der Faktoren gleich null ist:$$2a\cdot(1-a)=0$$Der erste Faktor \(2a\) ist null für \(a=0\) und der zweite Faktor \((1-a)\) ist null für \(a=1\).