Gewinnpläne, um die Gewinnsumme auf die Lose zu verteilen

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Um Geld für eine Kursfahrt einzunehmen, wollen Schüler eine Lotterie veranstalten. Sie gehen davon aus, dass sie an die Eltern 100 Lose - mit den Zahlen von 1 bis 100 beschriftet für je 5 EUR verkaufen werden. Von den 500 EUR Einnahmen sollen 35\% für die Gewinne der Lotterie verwendet werden. Sie überlegen verschiedene Gewinnpläne, um die Gewinnsumme auf die Lose zu verteilen:
- Gewinnplan A : 100 EUR auf Los 1, 50 EUR auf Los 2, 25 EUR auf Los 3, und die restliche Lose Nieten.
- Gewinnplan B : 25 EUR aus alle Lose, deren Nummer durch 13 teilbar ist, und die restliche Lose Nieten.
- Gewinnplan C : 17,50 EUR auf jedes Los mit der Endziffer 0 und die restliche Lose Nieten.
1) Man beschreibe dieses Glückspiel mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsraumes \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P}) \), wobei \( \Omega, \mathcal{F} \) und \( \mathrm{P} \) genau definiert werden sollten.
2) Man definiere auf diesem \( (\Omega, \mathcal{F}, \mathrm{P}) \) drei verschiedene Zufallsvariablen \( X_{A}, X_{B} \) und \( X_{C} \), die die drei Gewinnpläne beschreiben, und gebe ihre Bildräume und ihre Verteilungen an.
3) Vergleichen Sie \( \mathbb{E}\left(X_{A}\right), \mathbb{E}\left(X_{B}\right) \) und \( \mathbb{E}\left(X_{C}\right) \). Welcher Gewinnplan macht die Lotterie am attraktivsten?

Answer 1

\(\Omega = \mathbb{N}\cap [1,100]\)

\(\mathcal{F} = \mathcal{P}(\Omega)\)

\(\mathbb{P}: \mathcal{F}\to [0,1], E\mapsto\frac{|E|}{|\Omega|}\)

\(X_A: \Omega\to \{0,\ 25,\ 50,\ 100\}, \omega\mapsto\begin{cases}100&\omega=1\\50&\omega=2\\25&\omega=3\\0&\omega >3\end{cases}\)

\(X_B: \Omega\to \{0,\ 25\}, \omega\mapsto\begin{cases}25&13\,|\,\omega\\0&13\nmid\omega\end{cases}\)

\(X_C: \Omega\to \{0,\ 17,5\}, \omega\mapsto\begin{cases}17,5&10\,|\,\omega\\0&10\nmid\omega\end{cases}\)