Prüfen Sie, welche 2 dieser Geraden eine Ebene E festlegen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Geraden g: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 4\\1\\2 \end{pmatrix} \) + r · \( \begin{pmatrix} -2\\1\\0 \end{pmatrix} \)

h: \( \vec{a} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\3\\5 \end{pmatrix} \) + s · \( \begin{pmatrix} 2\\-1\\0 \end{pmatrix} \)

k: \( \vec{a} \) = t · \( \begin{pmatrix} 1\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Prüfen Sie, welche 2 dieser Geraden eine Ebene E festlegen und geben sie gegebenfalls jeweils eine Gleichung dieser Ebene an.

Problem/Ansatz:

Wie gehe ich hier vor?

Comments

vgl:

https://de.serlo.org/mathe/2123/ebene-aus-zwei-geraden

Answer 1

Hallo

nur windschiefe Geraden spannen keine Ebene auf

parallele oder sich schneidende Geraden spannen eine Ebene auf.

lul

Comments

Aber wie finde ich heraus, ob sie windschief, parallel etc sind?

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Hallo

parallel: Richtungsvektoren sind reelle vielfache voneinander. (gilt für  g und h)  Windschief: nicht parallel und kein Schnittpunkt.

Gruß lul

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Also gleichsetzen? und wie bestimme ich die Gleichung der Ebene?

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Wie bestimme ich die Gleichung der Ebene?

Wenn sie sich in S(a|b|c) schneiden und \( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) sowie \( \begin{pmatrix} r\\s\\t \end{pmatrix} \) die Richtungsvektoren sind, dann ist z.B. \( \begin{pmatrix} x\\y\\z \end{pmatrix} \)=\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \)+j·\( \begin{pmatrix} r\\s\\t \end{pmatrix} \) die Ebenengleichung.

Wenn eine Gerade \vec{x}=\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) und die andere Gerade \vec{x}=\( \begin{pmatrix} d\\e\\f \end{pmatrix} \)+m·\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) heißt, dann ist \vec{x}=\( \begin{pmatrix} a\\b\\c \end{pmatrix} \)+k·\( \begin{pmatrix} u\\v\\w \end{pmatrix} \) +n·\( \begin{pmatrix} a-d\\b-e\\c-f \end{pmatrix} \) die Ebenengleichung.

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Ich haben es gerechnet und nun raus; dass nur g,h eine Ebene festlegen da sie kollinear sind. g,k und h,k legen keine Ebene fest. Habe ich das richtig gerechnet?

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Hast du richtig raus!

Ebene durch 3 Punkte: 2 auf einer Geraden und einer auf der anderen.

Gruss lul

Answer 2

Die Geraden legen eine Ebene fest wenn sie nicht windschief sind und nicht identisch sind.