Question

y''(t) + 4y'(t)= (r²-4) y(t)

1. Bestimmen Sie eine Lösung y = y_r(t), x = x_r(t) des Differentialgleichungssystems mit y_r(0) = a und x_r(0) = b zu reellen Parametern r, a, b.

2. Sei nun y₀(t) = lim y_r(t) und x₀(t) = lim x_r(t)  r gegen 0. Überprüfen Sie, ob y = y₀(t) die anfangs gegebene Differentialgleichung mit Nebenbedingung y(0) = a und y′(0) = b löst

Comments

Hallo,

leider hat hier jemand geschlossen

a)

x1= y, x= x2=y' ,x2'=y''

x1'=y'=x2

y'' =(r^2-4) y -4y'

1.)Eigenwerte:

det(A-λE)=0

λ₁= r-2

λ₂= -r-2

2.Eigenvektoren:

r-2:

(-r+2)x1 +x2=0

x2=(r-2)x1 , x1=a

-->ν1= \( \begin{pmatrix} 1\\r-2\\ \end{pmatrix} \)

-r-2:

(r+2)x1+x2=0

x2=(-r+2)x1 ,x1=a

ν2= \( \begin{pmatrix} 1\\-r-2\\ \end{pmatrix} \)

\( \begin{array}{c}y=C1 e^{(r-2) t}+C_{2} e^{(-r-2) t} \\ x=C1(r-2) e^{(r-2) t}+C_{2}(-r-2) e^{(-r-2) t}\end{array} \)

dann noch

yr(0) = a und xr(0) = b einsetzen:

---->

a= C₁+C₂

b=C₁(r-2) +C₂(-r-2)

C2=\( \frac{-b}{2r} \) +\( \frac{a}{2} \)+\( \frac{-a}{r} \)

C1=\( \frac{a}{2} \) +\( \frac{b}{2r} \)+\( \frac{a}{r} \)

---

Hallo

Kannst du mir nochmal genauer erklären warum (-r+2)x₁ +x₂ =0 und nicht

(-r+2)x₁+4x₂ =0

Wieso ist x₁ gleich a?

Danke schonmal (:

---

x1'=                     x₂

x2'= (r^2 -4)x₁ -4x₂

--->

A =\( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ r^2-4 & -4 \end{pmatrix} \)

--->

det(A-λE)= $$\begin{vmatrix} -λ & 1 \\ r^2-4 & -4-λ \\ \end{vmatrix}$$

für Eigenvektor: r -2 gilt:

$$\begin{pmatrix} -r+2 & 1 \\ r^2-4 & -2-r \\ \end{pmatrix}$$ \( \begin{pmatrix} x\\y\\ \end{pmatrix} \) =0  --->(ist eine Zeile)

--------->

1.  (-r+2)x₁ +x₂=0

2.  (r^2-4)x₁ +(-2-r)x₂=0

Zeile 2 ist redundant (doppelt oder überflüssig)

------->

1. (-r+2)x₁ +x₂=0

(-r+2)x₁            = - x₂ |*(-1)

-(-r+2)x₁           =  x₂

(r-2)x₁              =  x₂

x₁ ist beliebig wählbar , es wird oft z.B. a gesetzt.

------>

ν =\( \begin{pmatrix} a\\(r-2)a\\ \end{pmatrix} \)

v=a \( \begin{pmatrix} 1\\r-2\\ \end{pmatrix} \)

v= \( \begin{pmatrix} 1\\r-2\\ \end{pmatrix} \)

analog geht das für :

-r-2

---

Ahh okay super danke für deine ausführliche Erklärung! Verstehe es jetzt (: