Aloha :)
Die Differentialgleichung$$y''+4y'+5y=0$$führt mit dem Ansatz \(y=e^{\lambda x}\) auf die quadratische Gleichung:$$\lambda^2+4\lambda+5=0\implies (\lambda^2+4\lambda+4)=-1\implies(\lambda+2)^2=i^2\implies\lambda=\pm i-2$$Da alle Linearkombinationen des Ansatzes Lösungen der Differentialgleichung sind, haben wir als allgemeine Lösung:$$y(x)=A\cdot e^{(i-2)x}+B\cdot e^{(-i-2)x}=e^{-2x}\left(Ae^{ix}+Be^{-ix}\right)\quad;\quad A,B\in\mathbb C$$
Damit die Lösungen reell sind, muss der Imaginärteil der Klammer verschwinden. Das tut er genau dann, wenn \(A=B^\ast\) gilt, also die beiden Konstanten komplex konjugiert zueinader sind.
Mit \(A=a+ib\) und \(a,b\in\mathbb R\) wird dann die Klammer aus der Lösung zu:$$\small Ae^{ix}+Be^{-ix}=(a+ib)(\cos x+i\sin x)+(a-ib)(\cos x-i\sin x)=2a\cos x-2b\sin x$$
Die allgemeine reelle Lösung der Differentialgleichung ist daher:$$y(x)=2e^{-2x}\left(a\cos x-b\sin x\right)\quad;\quad a,b\in\mathbb R$$
