Frage zu Differentialgleichungen 2. Ordnung y''-4y'+5y=sin(-x)

Question

Ich habe eine Frage zu der partikulären Lösung von DGLS

Wenn ich für die homogene DGL z.B. die Lösung e^-2x(c1*sin(2x)+c2*cos(2x)) raus habe und die im partikulären Teil z.B. 5sin(2x) steht, muss ich ja als Ansatz A*x*sin(2x)+B*x*sin(2x) nehmen. Was passiert aber, wenn ich im partikulären Anteil 5sin(-2x) stehen hab? Ist der Lösungsansatz gleich? Ändert das Vorzeichen dann irgendetwas? Die gleiche Frage habe ich auch zu der Störfunktion e^x. Nehmen wir an dass die Lösung der inhomogenen DGL 2 ist und die Störfunktion e^-2x lautet. Muss ich dann als Lösungsansatz A*e^-2x oder A*x*e^-2x nehmen? Ist hier das Vorzeichen egal oder muss ich das berücksichtigen?

Comments

Schön wären dazu genaue Aufgaben oder hast Du das erfunden?

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Ja ich habs erfunden. Wie die Aufgaben gelöst werden weiß ich schon, ich weiß nur nicht ob der partikuläre Lösungsansatz vom Vorzeichen abhängig ist. Ich habe zum Beispiel 2 +/- 3i raus. Wenn ich jetzt z.B. als Aufgabe (homogene dgl) = 25sin(3x) hab, dann nehme ich ja als Lösungsansatz      yp = A*x*sin(3x)+B*x*cos(3x). Meine Frage ist jetzt, wie es z.b. bei 25sin(-3x) wär. Muss ich da dann auch das x in den Lösungsansatz packen? Also yp = A*x*sin(-3x)+B*x*cos(-3x)? Gleiche Frage bei der e Funtion. Z.b. ich habe als homogene Lösung 2 und 3 raus. Also yh=c1*e^2x+c2*e^3x. Wenn ich jetzt als Störfunktion 5e^3x hab, muss ich ja als Lösungsansatz A*x*e^3x nehmen. Was passiert, wenn ich als Störfunktion 5e^-3x hab? Muss ich da dann auch A*x*e^-3x nehmen oder einfach nur A*e^-3x?

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y''-4y'+5y=sin(-x)

yh= 2 +/- 1i

yp= A*sin(-x)+B*sin(-x) oder yp= A*x*sin(-x)+B*x*sin(-x)?

Answer 1

y''-4y'+5y=sin(-x)

sin(-x)= -sin(x)

yp= A cos(x) +B sin(x)

Comments

Müsste das nicht x*(Acos(x)+Bsin(x)) wegen Resonanz sein?

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yh= C₁ e^{2x} cos(x) +C₂ e^{2x} sin(x)

Die Störfunktion ist -sin(x), nun vergleiche mal:

-also keine Resonanz

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Also heißt das, dass wenn die Störfunktion sinus oder cosinus ein negatives Vorzeichen hat, dass da dann nie Resonanz ist?