Aloha :)
Die partiellen Ableitungen von$$f(x;y)=\frac{1}{y(x-1)}\color{grey}=y^{-1}(x-1)^{-1}$$
erhältst du, indem du die Variable, nach der nicht(!) abgeleitet wird, konstant hälst:$$\frac{\partial f}{\partial x}(x;y)=y^{-1}\cdot(-1)(x-1)^{-2}=-\frac{1}{y(x-1)^2}\color{grey}=-y^{-1}(x-1)^{-2}$$$$\frac{\partial f}{\partial y}(x;y)=(-1)y^{-2}\cdot(x-1)^{-1}=-\frac{1}{y^2(x-1)}\color{grey}=-y^{-2}(x-1)^{-1}$$
Die zweiten partiellen Ableitungen funktionieren in ähnliche Weise:$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x;y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-y^{-1}(x-1)^{-2}\right)=-y^{-1}(-2)(x-1)^{-3}=\frac{2}{y(x-1)^3}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-y^{-1}(x-1)^{-2}\right)=-(-1)y^{-2}(x-1)^{-2}=\frac{1}{y^2(x-1)^2}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x;y)=\frac{\partial}{\partial x}\left(-y^{-2}(x-1)^{-1}\right)=-y^{-2}(-1)(x-1)^{-2}=\frac{1}{y^2(x-1)^2}$$$$\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x;y)=\frac{\partial}{\partial y}\left(-y^{-2}(x-1)^{-1}\right)=-(-2)y^{-3}(x-1)^{-1}=\frac{2}{y^3(x-1)}$$
