Bestimmung lokaler Extrema

Question

a) Bestimmen Sie alle lokalen Extrema der Funktion

\( f:[0 ; 3) \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(x)=\sqrt{x}+\ln (3-x) \)
mit den Ableitungen \( \quad f^{\prime}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}}-\frac{1}{3-x} \)
\( \text { und } f^{\prime \prime}(x)=-\frac{1}{4 \sqrt{x^{3}}}-\frac{1}{(3-x)^{2}} \text {. } \)

Problem/Ansatz:

ich möchte prüfen ob es sich bei den Randpunkten um lokale Extrema handelt.

Durch einsetzen von 0 und 3 in die 1. Ableitung erhalte ich bei beidem eine Division von 0. Bedeutet dies, dass die Ableitung an dieser Stelle nicht definiert ist und es sich nicht um ein lokales Extrema handelt?

Vielen Dank

Answer 1

Hallo

bei x=3 ist die Funktion nicht definiert,   an den Randpunkten ist nicht die Ableitung wichtig, sondern der Funktionswert, du musst also überprüfen ob f(1) größer ist als das Maximum. für x-> 3 geht die fkt gegen -oo  da spricht man nicht von Minimum, wenn der lokale Extremwert ein Min wäre dann wäre es nur ein lokales min, kein globales.

(An Rändern hat man  globale Min oder Max, nicht lokale)

Gruß lul