Aufgabe:
Gegeben seien die Ebene = {x∈\( ℝ^{3} \) } | ⟨n, x⟩ = 0 } mit n = \( (1,-2,-2)^{T} \)
und der Vektor v = \((1,1,1)^{T}\). Die Abbildung P bewirke Projektion jedes Punktes des Raums \( ℝ^{3} \) parallel zu v auf die Ebene E.
\( a^{1} \) = \( (2,0,1)^{T} \) und \( a^{2} \) = \( (2,1,0)^{T} \) .
Geben Sie die Abbildungsvorschrift von P an und zeigen Sie, dass P eine lineare Abbildung ist. Bestimmen Sie P(v),P(\( a^{1} \)) und P(\( a^{2} \))
Problem/Ansatz:
Der Projektionsvektor Pv von v auf die ebene E kann meines Wissens durch die Formel:
Pv = v - projn (v)
Normalenvektor n =(1,-2,-2)^T \( x^{a·b} \)
projn (v) = \( \frac{⟨v,n⟩ }{|n|^2} \) * n
Kann mir hier jemenad weiterhelfen? bzw ist das so überhaupt richtig
projn (v) = \( \frac{⟨(1,1,1)^{T}, (1,-2,-2)^{T}⟩}{|(1,-2,-2)^{T}|} \) * \((1,-2,-2)^{T}\) = \((-1/9,2/9,2/9)^{T}\)