Berechnen einer Abbildungsvorschrift?

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Ebene = {x∈\( ℝ^{3} \) } | ⟨n, x⟩ = 0 } mit n = \( (1,-2,-2)^{T} \)
und der Vektor v = \((1,1,1)^{T}\). Die Abbildung P bewirke Projektion jedes Punktes des Raums \( ℝ^{3} \) parallel zu v auf die Ebene E.
 \( a^{1} \)  = \( (2,0,1)^{T} \) und \( a^{2} \)  = \( (2,1,0)^{T} \) .

Geben Sie die Abbildungsvorschrift von P an und zeigen Sie, dass P eine lineare Abbildung ist. Bestimmen Sie P(v),P(\( a^{1} \)) und P(\( a^{2} \))

Problem/Ansatz:

Der Projektionsvektor Pv von v auf die ebene E kann meines Wissens durch die Formel:

Pv = v - proj_n (v) 
Normalenvektor n =(1,-2,-2)^T  \( x^{a·b} \)

proj_n (v) = \( \frac{⟨v,n⟩ }{|n|^2} \) * n

Kann mir hier jemenad weiterhelfen? bzw ist das so überhaupt richtig

proj_n (v) = \( \frac{⟨(1,1,1)^{T}, (1,-2,-2)^{T}⟩}{|(1,-2,-2)^{T}|} \) * \((1,-2,-2)^{T}\) = \((-1/9,2/9,2/9)^{T}\)

Answer 1

Hm,

was Du beschreibst sehe ich als orthogonale Projektion. Aus den Angaben würde ich eine Parallel-Projektion ablesen.

siehe

https://www.geogebra.org/m/BpqJ28eP#material/xwj3hnda

Konstruktion einer Matrix zur Parallel-Projektion

ich denke hier allerdings in homogenen Koordinaten - Du musst also die 4. Dimension weglassen. Damit würde man

\(\small P_v \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{4}{3}&\frac{-2}{3}&\frac{-2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}&\frac{1}{3}\\\end{array}\right)\)

erhalten.

\(\small P_v \; \left(\begin{array}{rrr}1&2&2\\1&0&1\\1&1&0\\\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr}0&2&2\\0&0&1\\0&1&0\\\end{array}\right)\)

Answer 2

\(P_v x\) ergibt sich durch \(x+tv\), wobei \(t\) so gewählt werden muss, dass \(x+tv\) in der Ebene liegt. Wir müssen also nur \(t\) bestimmen:$$<x+tv,n> \stackrel{!}{=}0 \Leftrightarrow t = -\frac{<x,n>}{<v,n>}$$Damit haben wir$$P_v x = x-\frac{<x,n>}{<v,n>}v$$Jetzt musst du nur noch \(v\) und \(n\) einsetzen: (\(I\) ist die Einheitsmatrix)$$P_v = I + \frac 13 \begin{pmatrix}1 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \\1 & -2 & -2 \end{pmatrix} = \frac 13 \begin{pmatrix}4 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & -2 \\1 & -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Fertig.