Aloha :)
Da bereits bekannt ist, dass die Folge konvergiert, können wir ausnutzen, dass der Grenzwert für \((a_n)\) derselbe ist wie für \((a_{n+1})\), das heißt:$$a\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}a_{n+1}$$
Wir können also folgende Gleichung ansetzen:$$a=\log_8\left(\frac14\cdot2^{a+\frac13}\right)\quad\bigg|8^{\cdots}$$$$8^a=\frac14\cdot2^{a+\frac13}\quad\bigg|\div2^a$$$$\frac{8^a}{2^a}=\frac14\cdot2^{\frac13}=2^{-2}\cdot2^{\frac13}=2^{-\frac53}\quad\bigg|\frac{8^a}{2^a}=\left(\frac82\right)^a=4^a=(2^2)^a=2^{2a}$$$$2^{2a}=2^{-\frac53}\quad\bigg|\log_2(\cdots)$$$$2a=-\frac53\quad\bigg|\div2$$$$a=-\frac56$$
