Anzahl Felder ohne Berührung auf einem 2x5 Brett finden, Wahrscheinlichkeitsrechnung

Question

Hallo

Ich muss folgende Aufgabe lösen, bin aber unsicher, wo ich ansetzen muss.

Aufgabe:

Bei einem 2×5-Brett werden nacheinander die (farblosen) Felder rot gefärbt, bis zwei Felder mit einer gemeinsamen Kante rot gefärbt sind. In jedem Schritt wird das Feld, das gefärbt wird, zufällig gewählt. Nun wird das folgende Spiel angeboten: Nach jedem Schritt kann der Spieler entscheiden, ob er sich 2 hoch die Anzahl roter Felder in Euro als Gewinn auszahlen lassen will; es gilt jedoch die Bedingung, dass nur dann ein Gewinn ausbezahlt wird, wenn sich keine roten Felder in einer Kante
berühren.
Anders gesagt: Es wird nur ein Gewinn ausbezahlt, wenn das Abbruchkriterium noch nicht erreicht ist. Entscheidet man sich für einen weiteren Schritt (es wird also ein weiteres Feld rot gefärbt), besteht die Gefahr, dass man nichts gewinnt, weil sich dann zwei rot gefärbte Felder in einer Ecke berühren. Bestimme nun die optimale Strategie und den erwarteten Gewinn bei
dieser Strategie

Problem/Ansatz:

Gemäss Aufgabe muss ich ja ab 6 Felder gar nicht mehr weiterrechnen. Auf dem Brett haben ja keine 6 rote Felder Platz ohne sich zu berühren. Ich glaube, die Anzahl an möglichen Kombinationen für 2-5 Felder finde ich mit dem Binomialkoeffizient. Wie finde ich aber nun die Anzahl "schlechter", also angrenzender Felderkombinationen, ohne dass ich mir ein Brett zeichne und jede schlechte Kombination selber suche?

Comments

die optimale Strategie

besteht darin, solange weiterzuspielen, bis die Wahrscheinlichkeit, im nächsten Zug ein rotes Feld mit gemeinsamer Kante zu einem schon vorhandenen roten Feld zu erwischen größer als 0,5 wird.

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Hi Hj
Danke für die Antwort :)

kannst du mir auch erklären, wie ich die wahrscheinlichkeit berechnen kann?
Ich muss die Aufgabe leider auch beweisen können.

Danke und Gruss

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Kannst du mir auch erklären, wie ich die Wahrscheinlichkeit berechnen kann? Ich muss die Aufgabe leider auch beweisen können.

Du würdest weiterspielen, wenn der Erwartungswert des Gewinns nach dem nächsten Zug größer ist als der Gewinn jetzt.

Da sich der Gewinn im nächsten Schritt verdoppelt, spiele ich nur weiter, wenn die Wahrscheinlichkeit ein Feld ohne gemeinsamer roter Kante zu erwischen größer als 0.5 ist.

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Hi Mathecoach
super, danke dir.

wie finde ich aber die Wahrscheinlichkeit, ob sich die Felder im nächsten Zug angrenzen?
ich verstehe in der Aufgabe nicht ganz, wie ich auf die Wahrscheinlichkeit der "schlechten" Felderkombinationen komme. Also wie rechne ich aus, ob das nächste rote Feld an meine bisherigen roten Felder angrenzt?

Answer 1

Also wie rechne ich aus, ob das nächste rote Feld an meine bisherigen roten Felder angrenzt?

Du rechnest nicht aus, ob das nächste Feld neben einem roten liegt, sondern die Wahrscheinlichkeit das dies so ist.

Die Wahrscheinlichkeit ist von 2 Dingen abhängig. Wie viele Felder aktuell rot sind und wie die Verteilung dieser roten Felder ist.

Also, wenn ein rotes Feld belegt ist kann dies eines der Ecken sein oder ein anderes Feld. Die Wahrscheinlichkeit ein nicht angrenzendes Feld zu treffen ist 7/9, wenn wir eine Ecke haben und 6/9, wenn man ein mittleres Feld hat.

Wenn zwei rote Felder besetzt sind ist die Wahrscheinlichkeit ein nicht angrenzendes Feld zu treffen mit 5/8 nochmals über 50%.

Wenn drei Felder rot sind ist die Wahrscheinlichkeit ein nicht angrenzendes Feld zu treffen nur noch unter 50%.

Daraus sollte sich jetzt die Gewinnerwartung basteln lassen.

Comments

Deine Wahrscheinlichkeiten stimmen nicht.

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Deine Wahrscheinlichkeiten stimmen nicht.

Danke. Meine Unachtsamkeit. Jetzt sollten sie stimmen.

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Nach der Verbesserung der Zähler sind jetzt die Nenner dran.

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Nach der Verbesserung der Zähler sind jetzt die Nenner dran.

Oh weh, natürlich. So, ich hoffe, jetzt ist aber alles richtig.

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Wenn zwei rote Felder besetzt sind ist die Wahrscheinlichkeit ein nicht angrenzendes Feld zu treffen mit 5/8 nochmals über 50%.

Das hängt aber schwer von der Lage der beiden Felder ab.

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Das hängt aber schwer von der Lage der beiden Felder ab.

Das ist völlig richtig. Aber da gibt es nicht viele Möglichkeiten. Das lässt sich also recht einfach nachvollziehen denke ich.

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Die Strategie ist am Ende recht übersichtlich.

nach dem ersten roten Feld kann man immer weiter machen$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline !& {\color{red}\blacksquare}& !& \\\hline & !& \phantom{!}& \phantom{!}& \phantom{!}\\\hline\end{array} \quad\quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline {\color{red}\blacksquare}& !& \\\hline !& \phantom{!}& \phantom{!}& \phantom{!}& \phantom{!}\\\hline\end{array}$$Die Wahrscheinlichkeit auf Gewinn liegt bei \(6/9\) oder \(7/9 > 1/2\).

Nach zwei roten Feldern lohnt nur diese Anordnung zum Weitermachen.$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline !& {\color{red}\blacksquare}& !& \\\hline {\color{red}\blacksquare}& !& \phantom{!}& \phantom{!}& \phantom{!}\\\hline\end{array}$$eines der roten Felder liegt in einer Ecke und beide roten Felder haben eine Ecke gemeinsam. Die Wahrscheinlichkeit auf Gewinn liegt bei \(5/8 \gt 1/2\).

Alle anderen Kombinationen sind entweder irrelevant oder verlustig. Hier zwei Beispiel mit \(4/8 = 1/2\) und \(3/8 \lt 1/2\)$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \phantom{!}& !& {\color{red}\blacksquare}& !& \\\hline !&{\color{red}\blacksquare}& !& \phantom{!}& \phantom{!}\\\hline\end{array} \quad \quad \begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline \phantom{!}& !& \phantom{!}& \phantom{!}&! \\\hline !&{\color{red}\blacksquare}& !& !& {\color{red}\blacksquare}\\\hline\end{array} $$

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Ist der Erwartungswert des Gewinns 4.125 oder hab ich mich da verrechnet?