Hilf mir doch noch mal bei den Minima und maxima.
... sollte für den Nachhilfelehrer der 11.Klasse eigentlich kein Problem sein. Einfach Kettenregel anwenden:$$f(x) = \frac{1}{g(x)} = \left(g(x)\right)^{-1} \\ f'(x) = (-1) \cdot \left(g(x)\right)^{-2} \cdot g'(x)$$Also übersetzt auf die konkrete Funktion:$$f'(x)= -\frac{2\sqrt{3}\cos\left(2x+\frac{\pi}{6}\right) \cdot 2}{\left(2\sqrt{3}\sin\left(2x+\frac{\pi}{6}\right)+6\right)^2}$$Auf weitere Vereinfachung verzichte ich. Der Ausdruck wird \(=0\), wenn das Argument des Cosinus den Wert \(\pi/2+k\pi\) annimmt$$\begin{aligned}\implies 2x + \frac{\pi}{6} &= \frac{\pi}{2} + k\pi&&|\, - \frac{\pi}{6}\\ 2x &= \frac{\pi}{3} + k\pi &&|\, \div 2\\ x &= \frac{\pi}{6} +k \frac{\pi}{2} &&\quad k \in \mathbb{Z}\end{aligned}$$Man könnte jetzt die zweite Ableitung bilden, um zu bestimmen, was Minima und was Maxima sind. Man kann es aber auch lassen, da die Funktion die Periode \(\pi\) haben muss und pro Periode nur ein Minimum und ein Maximum annehmen kann. D.h. Einsetzen reicht auch!
Der Ausdruck $$\sin\left(\frac{\pi}{3} + k\pi + \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + k\pi\right)\quad k \in \mathbb{Z}$$wird bei jedem geraden \(k\) zu \(1\) und bei jedem ungerden zu \(-1\). Da der Ausdruck im Nenner in einer Summe steht, liegt bei jedem ungeraden \(k\) ein Maximum vor. Bem.: der Nenner wird nie negativ.
(siehe auch den Graphen in meinem vorherigen Kommentar)
