Hallo,
Wenn Eurer Lehrer das nach diesem Weg haben will, mußt Du es so machen:
Oder wäre es dann: L(t) = c * e^(r*t) - d/r ->JA
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Wir haben das als Definition:
Allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung
Satz
Für alle \( c \in \mathbb{R} \) ist
\( y(t)=c \cdot e^{r t}-d / r \)
Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung 1. Ordnung \( y^{\prime}(t)=r \cdot y(t)+d \)
mit den konstanten Koeffizienten \( r \in \mathbb{R}, r \neq 0 \) und \( d \in \mathbb{R} \).
Umgekehrt hat jede Lösung diese Gestalt.
Gibt man die Anfangsbedingung \( y(0)=y_{0} \) vor, so folgt \( c=y_{0}+d / r \).
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L′(t) = k(Lmax − L(t)) mit dem Anfangswert L(0) = 10
L′(t) = k(Lmax − L(t))
L′(t) = k*Lmax − k*L(t))
L′(t) = − k*L(t)) +k*Lmax
Euer Weg: \( y^{\prime}(t)=r \cdot y(t)+d \)
Es wurde gesetzt:
d= k*Lmax
r= -k
-------->
L′(t) = r*L(t) +d
L′(t) - r*L(t) = d
1.) homogene Gleichung:
L′(t) - r*L(t)=0
dL/ dt = r* L
dL/L= r *dt
ln|L| = r*t+C | e^ hoch
|L| = e^(r*t+C)= e^(rt) *e^C
L = e^(rt) * ± e^C ; ± e^C =C1
Lh =C1 *e^(rt)
2.) Setze C1= C(t)
Lp= C(t) *e^(rt)
Lp'= C'(t) *e^(rt) +C(t) * r* e^(rt)
3.) Einsetzen von Lp und Lp' in die DGL:
L′(t) - r*L(t) = d
C'(t) *e^(rt) +C(t) * r* e^(rt) - r*C(t) *e^(rt) = d ; -------->C(t) hebt sich auf, fällt aus der Rechnung heraus
C'(t) *e^(rt) = d
C'(t)= d/ e^(rt)
C(t)= \( -\frac{d e^{-r t}}{r} \)
4.) Lp berechnen:
Lp= C(t) *e^(rt) = \( -\frac{d e^{-r t}}{r} \) *e^(rt)
Lp=\( \frac{-d}{r} \)
5) L= Lh+Lp
L= C1 *e^(rt) +\( \frac{-d}{r} \)
L= C1 *e^(rt) -\( \frac{d}{r} \)
6.) L(0) = 10
Gibt man die Anfangsbedingung \( y(0)=y_{0} \) vor, so folgt \( c=y_{0}+d / r \).
\( c=y_{0}+d / r \)
\( c=10+d / r \)
7.)Lösung:
L= \(( 10+d / r \)) *e^(rt) -\( \frac{d}{r} \)
