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Aufgabe: Hey wir sollen die differentialgleichung  y‘(t) = 3 * (1-2y(t)) * y(t) lösen.


Problem/Ansatz: Kann mir da jemand weiterhelfen, erst war meine Idee,  dass man es mit getrennte veränderliche versucht also: y‘(t) = f(t) * g(y(t)) versuchen aber in der vorlesung hatten wir auch: y‘(t) = a(t) * y(t) mit a(t) ist stetig, kann man das hier verwenden, weil y(t) ist ja gegeben, wäre nur die Frage mit a(t) weil ja stetig und hier a(t) sich aus y(t) zusammensetzt?

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Hallo

f(t)=3  ist zwar einfach aber doch eine stetige Funktion!


aber g(y) ist nicht y sondern g(y)=(1-2y(t)) * y(t) (Integral mit Partialbruchzerlegung lösen.

Gruß lul

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Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

y‘(t) = 3 * (1-2y(t)) * y(t)

\( \frac{dy}{dt} \) = 3 * (1-2y(t)) * y(t)  |:(1-2y(t) *y(t)  *dt

\( \frac{dy}{ y(t)(1-2y(t))} \) = 3 dt --->Lösung durch Partialbruchzerlegung (linkes Integral)

\( \frac{1}{y}-\frac{2}{2 y-1} \) = 3 dt

ln|y| - ln| 2y-1| = 3t+C

ln|\( \frac{y}{2y-1} \)| =3t+C | e hoch

|\( \frac{y}{2y-1} \)| =e^(3t+C) = e^(3t) *e^C

\( \frac{y}{2y-1} \) = e^(3t) * ± e^C ---------->± e^C = C1

\( \frac{y}{2y-1} \) = C1 e^(3t)  | *(2y-1)

y= C1 e^(3t)  *(2y-1)

y= C1 e^(3t)  2y-C1 e^(3t)

y - C1 e^(3t)  2y = - C1 e^(3t)

y(1 -C1 e^(3t)* 2) = - C1 e^(3t)

y=\( \frac{- C1 e^(3t)}{1 -2C1 e^(3t) } \)

\( y(t)=\frac{C_{1} e^{3 t}}{2 C_{1} e^{3 t}-1} \)

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