Differentialgleichung: getrennte Veränderliche

Question

Aufgabe: Hey wir sollen die differentialgleichung  y‘(t) = 3 * (1-2y(t)) * y(t) lösen.

Problem/Ansatz: Kann mir da jemand weiterhelfen, erst war meine Idee,  dass man es mit getrennte veränderliche versucht also: y‘(t) = f(t) * g(y(t)) versuchen aber in der vorlesung hatten wir auch: y‘(t) = a(t) * y(t) mit a(t) ist stetig, kann man das hier verwenden, weil y(t) ist ja gegeben, wäre nur die Frage mit a(t) weil ja stetig und hier a(t) sich aus y(t) zusammensetzt?

Answer 1

Hallo

f(t)=3  ist zwar einfach aber doch eine stetige Funktion!

aber g(y) ist nicht y sondern g(y)=(1-2y(t)) * y(t) (Integral mit Partialbruchzerlegung lösen.

Gruß lul

Answer 2

Hallo,

Lösung durch Trennung der Variablen:

y‘(t) = 3 * (1-2y(t)) * y(t)

\( \frac{dy}{dt} \) = 3 * (1-2y(t)) * y(t)  |:(1-2y(t) *y(t)  *dt

\( \frac{dy}{ y(t)(1-2y(t))} \) = 3 dt --->Lösung durch Partialbruchzerlegung (linkes Integral)

\( \frac{1}{y}-\frac{2}{2 y-1} \) = 3 dt

ln|y| - ln| 2y-1| = 3t+C

ln|\( \frac{y}{2y-1} \)| =3t+C | e hoch

|\( \frac{y}{2y-1} \)| =e^(3t+C) = e^(3t) *e^C

\( \frac{y}{2y-1} \) = e^(3t) * ± e^C ---------->± e^C = C1

\( \frac{y}{2y-1} \) = C₁ e^(3t)  | *(2y-1)

y= C₁ e^(3t)  *(2y-1)

y= C₁ e^(3t)  2y-C₁ e^(3t)

y - C₁ e^(3t)  2y = - C1 e^(3t)

y(1 -C₁ e^(3t)* 2) = - C1 e^(3t)

y=\( \frac{- C1 e^(3t)}{1 -2C1 e^(3t) } \)

\( y(t)=\frac{C_{1} e^{3 t}}{2 C_{1} e^{3 t}-1} \)