Grenzwert einer Funktion bestimmen mit Summenzeichen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Grenzwert

\( \lim \limits_{x \rightarrow 1}\left(\sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n}}{3^{n}}\right) . \)

Problem/Ansatz:

Weiß nicht so recht, wie ich hier den Grenzwert bestimmen soll, das Summenzeichen verwirrt mich ein wenig.

Bin für jede Hilfe dankbar.

Answer 1

Aloha :)

Ein der wichtigsten Summenformeln, die du natürlich auswendig kennst, ist die für die geometrische Reihe:$$\pink{\sum\limits_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}}\quad\text{für }|q|<1$$

Damit bestimmen wir den gesuchten Grenzwert:$$g=\lim\limits_{x\to1}\left(\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{x^n}{3^n}\right)=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1^n}{3^n}=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac13\right)^n=\pink{\sum\limits_{n=\green{0}}^\infty\left(\frac13\right)^n}-\green{\left(\frac13\right)^0}-\green{\left(\frac13\right)^1}$$$$\phantom g=\pink{\frac{1}{1-\frac13}}-\green{\frac43}=\frac32-\frac43=\frac{9-8}{6}=\frac16$$

Answer 2

Hallo

kennst du die geometrische Reihe? dann hast du sie hier für q=x/3 deren Summe für x/3<1 kennst du, oder setze direkt x=1 ein.

Gruß lul