Zeigen Sie: wenn X endliche Menge, so bilden Vektoren eine Basis von ...

Question

Aufgabe:

Seien \( X \) eine Menge und \( K \) ein Körper. Wir betrachten den Vektorraum \( M(X, K) \) der Abbildungen von \( X \) nach \( K \). Für \( y \in X \) sei die Abbildung \( e_{y} \in M(X, K) \) definiert durch
\( x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} 0, & \text { wenn } x \neq y, \\ 1, & \text { wenn } x=y . \end{array}\right. \)
Zeigen Sie:
(a) Ist \( X=\left\{y_{1}, \ldots, y_{n}\right\} \) eine endliche Menge, so bilden die Vektoren \( e_{y_{1}}, \ldots, e_{y_{n}} \) eine Basis von \( M(X, K) \)
(b) Die Elemente sin, cos, exp des \( \mathbb{R} \)-Vektorraums \( M(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \) sind linear unabhängig. Dabei sind sin : \( \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \sin (x), \cos : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \cos (x) \) und \( \exp : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto \exp (x) \).

Problem/Ansatz:

Kann wer Ansätze geben und was zu lösen ist?

Answer 1

Zu a)

Sei \(f\in M(X,K)\). Es gelte \(f(y_i)=z_i\) für \(i=1,\cdots,n\).

Dann gilt \(f=\sum_{i=1}^n z_i\cdot e_{y_i}\), die \(e_{y_i}\) bilden also

ein Erzeugendensystem von \(M(X,K)\).

Nun zeige du, dass diese linear unabhängig sind.