Finden Sie durch einen Ansatz der Form u(x, y, z)=g(x^{2}+y^{2}+z^{2}) mit einer differenzierbaren Funktion g:] 0, …

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten das Vektorfeld:
\( \vec{v}(x, y, z)=6 e^{3 x^{2}+3 y^{2}+3 z^{2}}\left(\begin{array}{l} x \\ y \\ z \end{array}\right), \quad(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} . \)
Stellen Sie \( \vec{v} \) in Kugelkoordinaten dar.
Finden Sie durch einen Ansatz der Form \( u(x, y, z)=g\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \) mit einer differenzierbaren Funktion \( g:] 0, \infty[\rightarrow \mathbb{R} \) (Kugelsymmetrie) und Verwendung von Kugelkoordinaten ein Potential von \( \vec{v}: \mathbb{R}^{3} \backslash\{\overrightarrow{0}\} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \).

Problem/Ansatz:Wie löst man diese aufgabe?

Comments

hatte mich verklickt, siehe Antwort.

Answer 1

Aloha :)

Hier kannst du die Lösung sofort hinschreiben:$$\vec v=e^{3x^2+3y^2+3z^2}\begin{pmatrix}6x\\6y\\6z\end{pmatrix}=\operatorname{grad}\underbrace{\left(e^{3x^2+3y^2+3z^2}\right)}_{\coloneqq u(x;y;z)}$$Die Potentialfunktion \(u(x;y;z)\) kannst du auch in Kugelkoordinaten schreiben:$$u(\vec r)=e^{3r^2}$$

Comments

Was wurde aus den cos und sin von den kugelkoordinaten?

Text erkannt:

Kartesische Koordinaten
\( \begin{array}{l} x=r \cos \phi \cos \lambda \\ y=r \cos \phi \sin \lambda \\ z=r \sin \phi \end{array} \)

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Deine Darstellung der Kugelkoordinaten entspricht nicht dem Standard, geht aber auch. Wenn du die Terme quadriest und dann addierst, vereinfacht sich alles wegen des trigonometrischen Pythagoras:$$\sin^2\varphi+\cos^2\varphi=1$$

Mit den "richtigen" Kugelkoordinaten sieht das so aus:$$\phantom=x^2+y^2+z^2$$$$=(r\sin\vartheta\cos\varphi)^2+(r\sin\vartheta\sin\varphi)^2+(r\cos\vartheta)^2$$$$=(r^2\sin^2\vartheta\cos^2\varphi+r^2\sin^2\vartheta\sin^2\varphi)+r^2\cos^2\vartheta$$$$=r^2\sin^2\vartheta(\pink{\cos^2\varphi+\sin^2\varphi})+r^2\cos^2\vartheta$$$$=r^2(\pink{\sin^2\vartheta+\cos^2\vartheta})=r^2$$