Zeigen Sie: 1 ≤ \mu(P, Q) ≤ √{n} .

Question

Seien \( P, Q \in \mathbb{R}^{n \times n} \) zwei orthogonale Matrizen. Die Zahl

\( \mu(P, Q):=\sqrt{n} \cdot \max _{1 \leq i, j \leq n}\left|(P Q)_{i j}\right| \)
bezeichnet man auch als die Koharenz von \( P \) und \( Q \). Zeigen Sie: \( 1 \leq \mu(P, Q) \leq \sqrt{n} \).
Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass \( P Q \) ebenfalls eine orthogonale Matrix ist. Warum gilt für eine orthogonale Matrix \( R \in \mathbb{R}^{n \times n} \), dass \( 1 / \sqrt{n} \leq \max _{1 \leq i, j \leq n}\left|R_{i j}\right| \leq 1 \) ?

Answer 1

Wenn \( a\) irgendeine Spalte von einer orthogonalen Matrix \( A\) ist, so gilt
\(\begin{aligned} \left\langle a, a\right\rangle = 1 \implies \sum_{ k = 1}^{ n} a_{ k} ^{ 2}= 1 \end{aligned}\)
also \( a_{ k} ^{ 2}\leqslant 1\) für alle \( k\) und wären alle \( a_{ k} \) kleiner als \( 1 / \sqrt{ n} \) hätten wir
\(\begin{aligned} \sum_{ k = 1}^{ n} a_{ k} ^{ 2} < \sum_{ k = 1}^{ n} \left( \frac{1}{ \sqrt{ n} } \right)^{ 2}= 1 , \end{aligned}\)
ein Widerspruch.