ich bin mir nicht sicher aber ist dies der richtige Ansatz: es gibt ein z aus I mit (ex -1 )/ (x - 0) = e^z und e^z …

Question

Aufgabe: Man beweise mit Hilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung fuer x > 1:
ex > e · x

Problem/Ansatz:

ich bin mir nicht sicher aber ist dies der richtige Ansatz: es gibt ein z aus I mit (ex -1 )/ (x - 0) = e^z und e^z ≥ 1, da z aus I?

Comments

ex > e · x

Verstehe nicht, was mir das sagen soll.

---

ach sorry das sollte e hoch x > ex sein

Answer 1

Sieht ganz nach

\(e^x > e\cdot x\) für \(x > 1\) aus.

Dann setzen wir mal \(x= 1+t\) mit \(t>0\). Zu zeigen ist also

\(e^{1+t} =e\cdot e^t > e(1+t) \) für \(t > 0\).

Nun gilt aber per MWS für ein \(\tau \in (0,t)\):

$$e^t-(1+t) \stackrel{MWS}{=} (e^\tau - 1)t > 0$$

Fertig.