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Es sei x(t)= (cos3(t)  und y(t)= (sin3(t)

Berechnen sie die Länge des Kurvenstückes K{ (x(t) , y(t) ∈ R ,0 ≤ t ≤ π/2 }?


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Du kannst dafür die Formel aus Deinem Lehrmaterial verwenden.

Dieser Link passt nicht zur Aufgabe.

2 Antworten

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Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$\vec r=\binom{\cos^3t}{\sin^3t}\quad;\quad t\in\left[0;\frac\pi2\right]$$

Die Länge \(\ell\) dieses Kurvenstücks kannst du formal so bestimmen:$$\small\ell=\int\limits_{\vec r(0)}^{\vec r(\frac\pi2)}dr=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left\|\frac{d\vec r}{dt}\right\|\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}\left\|\binom{-3\cos^2t\sin t}{3\sin^2t\cos t}\right\|\,dt=\int\limits_{0}^{\pi/2}3|\sin t\cos t|\left\|\binom{-\cos t}{\sin t}\right\|\,dt$$

Wegen \(t\in[0;\frac\pi2]\) ist \(\sin t\ge0\) und \(\cos t\ge0\), sodass wir die Betragszeichen weglassen dürfen. Der Betrag des verbliebenen Vektors ist \(\sqrt{(-\cos t)^2+\sin^2t}=1\). Das heißt:$$\ell=\int\limits_0^{\pi/2}3\sin t\cos t\,dt=\frac32\left[\sin^2t\right]_0^{\pi/2}=\frac32$$

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Hallo

L=∫|c'(t)|dt mit den gegebenen Grenzen

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