Lösung Differentialgleichung

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung y‘(t) = x(t)/t + t^2 * sin(2t) wobei t > 0 ist. Wir hatten die Formel a(t) * y(t) + b(t) mit a(t), b(t) sind stetig. Was wäre hier den die Formeln.

Problem/Ansatz: Wäre a(t) = sin(2t), y(t) = t^2 und b(t) = x(t)/t?

Comments

Wir hatten die Formel a(t) * y(t) + b(t)

a(t) * y(t) + b(t) ist keine Formel, sondern ein Term.

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Ja sorry wir hatten y‘(t) = a(t) * y(t) + b(t)

Answer 1

Hallo,

Lösung via Variation der Konstanten , falls so behandelt

\( y^{\prime}(t)=\frac{y(t)}{t}+t^{2} \sin (2 t) \) --falls die Aufgabe so lautet ?

y'  -y/t= t^2 sin(2t)

---------->homogene Gleichung:

y'  -y/t=0

dy/dt= y/t

dy/y= dt/t

ln|y| =ln|t| +C

yh= C1 *t

------------>

C1=C(t)

yp= C(t) *t

yp'= C'(t) *t +C(t) *1

-----------<yp und yp' in die DGL eingesetzt:

--------->

y'  -y/t= t^2 sin(2t)

C'(t) *t +C(t) - C(t)= t^2 sin(2t)

C'(t)  = t sin(2t) ->C(t) hebt sich heraus

C(t)= ∫ t sin(2t) dt ->partiell integrieren

---->

yp= C(t) *t

y=yh+yp

\( y(t)=C_{1} t-\frac{1}{2} t^{2} \cos (2 t)+\frac{1}{4} t \sin (2 t) \)

Comments

okay vielen dank mich hat nur gewundert das da x(t)/t steht bei der aufgabenstellung