Aufgabe:
Ich habe eine Aufgabe zur partiellen Differentiation gelöst. Ich bin mir nicht ganz sicher ob meine Vorgehensweise korrekt ist
\(f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x y \cdot \frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0 & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.\)
Das soll gezeigt werden:
\(\frac{\partial^{2} f}{\partial x \partial y}(0,0) \neq \frac{\partial^{2} f}{\partial y\partial x}(0,0)\)
Problem/Ansatz:
Ich habe den Tipp bekommen, dass ich das wegen der Definitionslücke nur mittels dem Differenzenqoutienten zeigen kann. Passt das dann so?
\(\frac{\partial f}{\partial y}(\frac{\partial f}{\partial x}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(0,h) - f(0)}}{{h}} =\lim_{h \to 0}\frac{x^4h+4x^2h^2-h^4}{x^4h+2x^2h^3+h^5}=\infty\)
\(\frac{\partial f}{\partial x}(\frac{\partial f}{\partial y}f(0,0))=\lim_{{h \to 0}} \frac{{f(h,0) - f(0)}}{{h}}=\lim_{h\to0}\frac{h^5}{h^5}=1\)
Meiner Meinung nach wäre ich damit schon fertig.
Danke schonmal!
