Symmetrie bezüglich der definitionslücke untersuchen?

Question

Ich weiß nicht wie man die Symmetrie bezüglich einer definitionslücke feststellt... in meinen buch steht nur, dass ein graph einer geb.rationalen funktion nur symmetrisch ist bzgl. Y achse oder ursprung ist, wenn die definitionslücke auch symmetrisch bzgl x=0 ist.

Ich weiß wie man allgemein die Symmetrie nachweist mit der Rechnung f(x)=f(-x) oder f(-x)=-f(x)

Aber Wie untersuche ich  denn jetzt noch die Symmetrie bzgl x=0 bei der Lücke?

Comments

Aber Wie untersuche ich denn jetzt noch die Symmetrie bzgl x=0 bei der Lücke?

Wenn x=0 selbst die Definitionslücke darstellt, so ist sie zu sich selbst symmetrisch und es gibt nichts zu tun. Ist x=c mit c≠0 eine Definitionslücke, dann muss auch x=-c eine Definitionslücke sein. Das muss, wenn es nicht offensichtlich ist, überprüft werden.

Answer 1

Falls es eine achsensymmetrische Funktion zur y-Achse ist
dann ist die eine Definitionslücke bei x > 0 auch auf der
anderen Seite vorhanden.

Ansonsten gib einmal ein Beispiel.

Answer 2

Symmetrie bezüglich einer Definitionslücke an der Stelle a kannst

du im Falle der Achsensymmetrie feststellen durch

f(a+x) = f(a-x) und im Falle der Punktsymmetrie zum Punkt (a;b)

durch f(a+x) - b =  b - f(a-x) .

Comments

Das ist sicher nützlich zu wissen, aber das meinte der Frager nicht.

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Ich meine eine funktion wie z.b (x²-1)(x-3)/(x^4-16)(x-3)

Gekürzt würde das rauskommen(x²-2)/(x^4-16).

Hier liegt ja formal betrachtet eine Symmetrie bzgl der y achse vor. Aber im buch steht das diese funktion nicht symmetrisch ist weil sie eine definitionslücke bei x=3 besitzt

Jetzt weiß ich nicht wie man es denn nachweisen soll ob eine funktion auch definitionslücken hat die symmetrisch zu x=0 sind

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Dazu brauchst du doch nur die Definitionslücken zu bestimmen

und schauen, ob sie auch symmetrisch zu 0 liegen.

Bei dir ist der Nenner

(x^4 - 6) * (x-3) .

Der ist 0 für x=±4.Wurzel aus 6 und für x=3.

Die ersten beiden sind symmetrisch zu 0, aber

bei

der 3. fehlt der Symmetriepartner, also ist die

Funktion insgesamt nicht symmetrisch.

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Achso... Vielen lieben Dank jetzt kann ich es endlich nachvollziehen!! Ich hätte nur noch eine letzte Frage und zwar wenn es im Nenner nur eine definitionslücke gibt wie z.b x= 2 bedeutet das automatisch, dass die funktion nicht symmetrisch ist weil ja der Symmetrie Partner fehlt? Und bei x=0 als definitionslücke ist es dann automatisch symmetrisch?Oder lieg uch da völlig daneben?

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wenn es im Nenner nur eine definitionslücke gibt wie z.b x= 2 bedeutet das automatisch, dass die funktion nicht symmetrisch ist weil ja der Symmetrie Partner fehlt?

Es ist dann allenfalls achsensymmetrisch zur Gerade x=2

oder punktsymmetrisch zu einem Punkt mit x-Wert 2.

Beispiel 1/(x-2)^2 ist symmetrisch zur Gerda x=2

und f(x) = 1  +  1/(x-2) ist symmetrisch zum Punkt P(2/1).

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Vielen Dank, jetzt versthe ich es :))