Wahrscheinlichkeit einer Binomialverteilung

Question

Aufgabe:

In einer Buchhandlung wird mit Wahrscheinlichkeit p = 0.1 beim Kauf einer Tageszeitung eine überregionale
Tageszeitung gewählt. Unter der Annahme, dass an einem Tag genau 30 Zeitungen verkauft
werden und jede Kaufentscheidung von den anderen unabhängig getroffen wird, wie viele überregionale
Tageszeitungen muss der Händler mindestens bereithalten, damit er die Wünsche der Kunden (nach
einer überregionalen Zeitung) mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% erfüllen kann?

Answer 1

Sei \(X\) binomialverteilt mit \(n=30\) und \(p = 0.1\). Gesucht ist das kleinste \(k\), so dass

        \(P(X\leq k)\geq 0.95\)

ist.

Es gibt 31 mögliche Werte für \(k\). Durch geschicktes Ausprobieren brauchst du höchsten \(\log_2(31)\approx 5\) Versuche.

Comments

Wie kommt man auf den Logarithmus bei der Berechnung?

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Durch geschicktes Ausprobieren

welches sehr geschickt wird, wenn man die gesuchte Anzahl mit einer Normalverteilung gut annähert. Die Tabelle der Standardnormalverteilung verrät mir, dass mit 95% Wahrscheinlichkeit die Werte kleiner oder gleich µ+1,64σ sind.

Also sollte man in der Nähe von 0,1*30+ 1,64*\( \sqrt{30*0,1*0,9} \) suchen.

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Ist für die Approximation mit der Normalverteilung das gegebene n nicht viel zu klein?

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Es geht doch nicht um den genauen Wert, sondern nur darum, in welcher Umgebung man das Ergebnis sucht. Hier würde man also nicht bei n=100 oder n=13 suchen, sondern die Suche bei n=5 und n=6 beginnen.

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Durch geschicktes Ausprobieren

Was kann es Geschickteres geben, als sukzessive Summanden P(X=0) , P(X=1) , P(X=2) , ... zu addieren ?

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Na ja, wenn sich herausstellen sollte, dass man erst bei sehr großen n zum gewünschten Ergebnis kommt, ist eine vorherige Abschätzung schon sinnvoll.

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Wie kommt man auf den Logarithmus bei der Berechnung?

Die Anzahl der möglichen Werte für \(k\) wird bei jedem Test ungefähr halbiert.

1. Minimaler Wert für \(k\) ist \(0\), maximaler Wert ist \(30\).

   \(\frac{0+30}{2}=15\)
   

   \(P(X\leq 15) \approx 1.00 > 0.95\)

2. Minimaler Wert für \(k\) ist \(0\), maximaler Wert ist jetzt \(15\). Ungefähr die Hälfte der möglichen Werte wurden ausgeschlossen.
   

   \(\frac{0+15}{2}=7.5\)

   \(P(X\leq 7.5) \approx 0.99 > 0.95\)

3. Minimaler Wert für \(k\) ist \(0\), maximaler Wert ist \(7.5\).
   

   \(\frac{0+7.5}{2}=3.75\)

   \(P(X\leq 3.75) \approx 0.65 < 0.95\)

4. Minimaler Wert für \(k\) ist \(3.75\), maximaler Wert ist \(7.5\).

   \(\frac{3.75+7.5}{2}=5.625\)

   \(P(X\leq 5.625) \approx 0.93 < 0.95\)

5. Minimaler Wert für \(k\) ist \(5.625\), maximaler Wert ist \(7.5\).

   \(\frac{5.625+7.5}{2}=6.5625\)

   \(P(X\leq 6.5625) \approx 0.97 > 0.95\)

Es gibt nur eine natürliche Zahl zwischen 5.625 und 6.5625. Diese ist das gesuchte \(k\).

Das Verfahren funktioniert auch dann, wenn man sich noch nicht die Mühe gemacht hat, zu verstehen worum es bei den Sigmaregeln geht und auch noch nicht verstanden hat, welchen Einfluss die Parameter \(n\) und \(p\) auf das Histogramm haben.

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Danke für die Antworten!

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Wenn (im Gegensatz zu meiner Annahme, deren Resultat mein obiger Kommentar ist) der Einsatz elektronischer Hilfsmittel erlaubt ist, dann ist das Erstellen-lassen mehrerer Histogramme nicht die "geschickteste" Wahl, eine Tabelle der kumulierten Binomialverteilung

Quelle : https://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/binverttab.htm

macht das schneller.

Answer 2

Parameter der Binomialverteilung

n = 30 ; p = 0.1

Man könnte sogar eine grobe Schätzung mit der Normalverteilung machen.

Parameter der Normalverteilung

μ = n * p = 30 * 0.1 = 3
σ = √(n * p * (1 - p)) = √(30 * 0.1 * 0.9) = 1.643

Φ(k) = 0.95 --> k = 1.645

Grobe Abschätzung durch die Normalverteilung

K = μ + k * σ = 3 + 1.645 * 1.643 = 5.702735

Damit würde man sagen, er sollte 6 überregionale Tageszeitungen bereithalten.

Da das nur eine grobe Schätzung ist, sollte man hier mit der Binomialverteilung nachrechnen.

Ich spare mir das hier, weil der Wert von 6 ja hier bereits bestätigt worden ist.

Hier braucht man für die Abschätzung nur die Kenntnis der Näherung der Binomialverteilung mit der Normalverteilung und den Sigma-Regeln.

Zum Nachrechnen, weil die Moivre-Laplace Bedingung nicht erfüllt ist braucht man trotzdem noch die Binomialverteilung. Aber meist liegt die grobe Näherung schon recht gut.