Zeigen Sie, dass für jede Lösung der Differentialgleichung

Question

Aufgabe:

(a) Sei f : R → R stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass für jede Lösung der Differentialgleichung
x˙ = f(x)

genau eine der folgenden Aussagen zutrifft:
(i) x ist streng monoton wachsend.
(ii) x ist streng monoton fallend.
(iii) x ist konstant.
(b) Bleibt die Aussage in (a) richtig, wenn f : R → R nur als stetig vorausgesetzt wird?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir als Beispiel e^x angeschaut, da das die Bedingungen erfüllt und würde dadurch auf den Schluss kommen, dass i) richtig ist, ich wüsste jetzt aber echt nicht, wie ich das beweisen kann.

Mein Ansatz war: \( \frac{dx}{dy} \)=f(x) => dy=dx*f(x) aber das passt meiner meinung nicht und ich wüsste auch nicht wie man da dann auf den gewünschten schluss kommen würde.

Comments

Ich habe mir als Beispiel \(e^x\) angeschaut

Meinst du damit \(f(x)=e^x\) ?
Es geht ja um Lösungen \(x=x(t)\).

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Ich glaube ich habe eine Denkfehler gemacht, ich hatte y' =y im kopf weil y'=e^x und y=e^x

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siehe hier:

https://trabaldini.github.io/aufg/F16T1A4_FT.pdf

Answer 1

ES sei \(I \sub \R\) ein Intervall und \(x:I \to \R\) eine Lösung der Differentialgleichung \(x'=f(x)\). Wenn im Inneren von I ein s existiert mit \(f(x(s))=0\); dann ist \(x(t)=const=x(s)\) für alle \(t \in I\). Denn die Lösung ist ja wegen der stetigen Differenzierbarkeit überall - lokal - eindeutig. Andernfalls ist eben \(x'(t)=f(x(t))\) entweder überall im Inneren von I positiv oder überall negativ.

Comments

Wäre dann x'=\( \sqrt{x} \) für b) ein passendes Beispiel? Da bin ich mir jetzt nämlich nicht sicher, ist ja weder Konstant noch Monoton

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