stetige Lösung der linearen Differentialgleichung bestimmen

Question

hi, ich soll die stetige Lösung der folgenden linearen Differentialgleichung bestimmen und diese
Lösung graphisch darstellen.

\( x^{\prime}+2 t x=f(t), \quad x(0)=2 \)

wobei \( f(t)=\left\{\begin{array}{lc}t, & \text { falls } 0 \leq t<1 \\ 0, & \text { falls } t \geq 1\end{array}\right. \)

Ist das jetzt so gedacht, dass ich im Vorhinein erkennen soll, welches davon stetig ist und ich entsprechend nur die eine entsprechende Lösung bestimmen soll?
Wenn ich ja t ≥ 1 habe, dann ist der Störteil null und übrig bleibt nur der homogene Teil aus, aber was sagt das dann über die Stetigkeit aus?
Ich weiß nicht wie ich am besten an die Aufgabe ran gehen soll, ich kann lineare Differentialgleichung lösen, aber was soll ich für f(t) einsetzen und wie erkenne ich das ?

Wäre sehr dankbar, wenn mir jemand hierbei helfen könnte.

Liebe Grüße,

Mauerblümchen

Answer 1

Hallo,

lös erstmal die DGL. Für t>=1

\(x'+2tx=0 \Rightarrow \dfrac{dx}{x}=-2t dt \Rightarrow ln(x)=-t^2 +c \Rightarrow x(t)=C_2\cdot e^{-t^2} \)

Für 0<=t<=1:

\(x'+2tx=t \quad \Rightarrow (durch \quad Ansatzverfahren)  x(t)=C_1 e^{-t^2}+\dfrac{1}{2}\\ x(0)=2 \Rightarrow C_1 =\dfrac{3}{2}  \\Stetigkeit \quad in \quad t=1:\quad \dfrac{3}{2}e^{-1}+\dfrac{1}{2} = C_2 e^{-1} \Rightarrow C_2 =\dfrac{3+e}{2}  \)

Skizze:

~plot~ 3/2 * e^(-x^2) +1/2;(3+e)/2 *e^(-x^2);x=1; [[0|2|-0,5|4]] ~plot~

(Die blaue Kurve gilt nur bis t=1 , die rote kurve erst ab t=1)

Comments

Hallo,

ich glaube zwar auch, dass dies die vom Aufgabensteller angepeilte Lösung ist. Ich frage mich allerdings, wie eine nicht-differenzierbar Funktion (Knick bei 1) Lösung einer Differentialgleichung sein kann.

Gruß

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Das hatte mich auch gewundert, müsste erstmal nachschlagen ob es an f(t) liegt oder ob ich einen Fehler gemacht habe.

Nachtrag: liegt an f(t) und der Aufgabenstellung, x(t) ist nur eine schwache Lösung