Aufgabe:
Sei \( G=(V, A) \) ein Digraph mit Kapazitäten \( u: A \rightarrow \mathbb{R}_{+} \)und Balancen \( b: V \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( \sum \limits_{v \in V} b(v)=0 \). Zeigen Sie, dass es genau dann einen \( b \)-Fluss gibt, wenn
\( \sum \limits_{\delta^{+}(X)} u(a) \geq \sum \limits_{v \in X} b(v) \quad \text { für alle } X \subseteq V . \)
Hinweis: Benutzen Sie die Konstruktion eines Hilfsnetzwerkes \( \left(G^{\prime}, u^{\prime}, s, t\right) \) von Lemma 8.2 und das Max-Flow-Min-Cut-Theorem bezüglich der Existenz eines s-t-Flusses in \( G^{\prime} \), der die Flüsse aus s und nach \( t \) sättigt.
