Hesse Matrix als Summe

Question

Aufgabe:

$$H_f(x_0) = \sum_{i, j=1}^n \frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i \partial x_j}$$

Problem/Ansatz:

Ist das so richtig?

Answer 1

Nein, weil links steht eine Matrix, rechts eine Zahl.

Die Zahl rechts ist die Summe aller Elemente in der Hesse-Matrix.

Comments

Geht das irgendwie in dieser Form?

$$\sum_{i,j=1}^n h_i h_j \frac{\partial^2 f(x_0)}{\partial x_i \partial x_j}=h^{\top}H_f(x_0)h $$

Und was ist hiermit?

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Die Objekttypen auf beiden Seiten einer Gleichung müssen dieselben sein. Solange also links eine Matrix steht und rechts eine Zahl, geht das nicht.

Wie man das zu einer richtigen Gleichung machen kann, hängt davon ab, was das Ziel ist.

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Es sei \( U \subseteq \mathbb{R}^n \) offen und konvex, \( f \in C^3(U) \) und \( x_0 \in U \).

(a) Zeigen Sie
$$ \lim _{h \rightarrow 0}\left(\frac{h^{\top} H_f\left(x_0\right) h}{\|h\|^2}-\frac{f\left(x_0+h\right)+f\left(x_0-h\right)-2 f\left(x_0\right)}{2\|h\|^2}\right)=0 . $$

Das Ziel ist das mit $$f\left(x_0+h\right)=f\left(x_0\right)+f^{\prime}\left(x_0\right) h+\frac{1}{2} \sum_{j, k=1}^n \frac{\partial^2 f\left(x_0\right)}{\partial x_j \partial x_k} h_j h_k+\|h\|^2 \rho(h)$$

Damit sich da eventuell die Summe subtrahieren lässt habe ich an eine Summendarstellung von der Hesse Matrix gedacht

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Aha. \(h^THh\) ist aber eine Zahl, und damit gilt:

\(h^THh = \sum\limits_{j,k} H_{jk}h_jh_k\)

und das ist vermutlich die Gleichung, die Du suchst.

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Ja exakt. Vielen Dank :)