lineare Unabhängigkeit, LGS aufstellen

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

(i) \( (2,1,0),(1,0,1),(-2,-3,4) \in \mathbb{R}^{3} \)

(ii) \( \left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 0 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right) \in M_{2,2}(\mathbb{R}) \)

(iii) \( 1+x^{2}, x+x^{3}, x^{2}+x^{3} \in \mathbb{R}_{3}[x] \)
Tipp: Sie dürfen die Tatsache benutzen, dass ein Polynom genau dann das Nullpolynom ist, wenn alle Koeffizienten verschwinden.

Problem/Ansatz:

Wie stelle ich bei der ii) das LGS auf? Oder kann ich hier die Zahlen addieren zu einem 2x3 (mit den 0en) LGS? Also

1 2 | 0

3 4 | 0

Ich dachte vielleicht könnte man zeigen das zwei Vektoren linear abhängig sind, das sehe ich aber aktuell nicht.

Answer 1

Zur linearen (Un)Abhängigkeit von \(n\) Objekten geht man stets gleich vor:
Ansatz: \(\lambda_1\cdot \rm{Objekt}_1 + \lambda_2\cdot \rm{Objekt}_2 +... \lambda_n\cdot \rm{Objekt}_n = 0\). Das dann nach den \(\lambda\)s auflösen.

Man muss nur schauen, was \(\cdot\) und \(+\) im jeweiligen Zusammenhang heißt. Hier, bei Matrizen, bedeutet "Zahl mal Matrix" elementweise reinmultiplizieren und Summe von Matrizen das elementweise Addieren. Die 0 auf der rechten Seite ist dann die Nullmatrix (hier 2x2).
Stell die Gleichung so auf. Die Gleichheit zweier 2x2-Matrizen führt dann auf vier Gleichungen (aber nicht die von Dir oben genannnten).

Comments

In der ersten Zeile ist ein Fehler oder?

müsste 0 0 0 1 | 0 sein.

Aber der Rest müsste dann stimmen oder verstehe ich nicht was ihr meint?

---

Ja, mit dieser korrigierten ersten Zeile stimmt es.

---

Ok perfekt, danke dir.

---

Ich habe gerade die iii) gemacht. Da stimmt doch was nicht...

Es muss doch bei R3[x] 4 Elemente geben, es gibt aber nur 3.

So komme ich auf das LGS:

0 1 1 |0

1 0 1 | 0

0 1 0 | 0

1 0 0 | 0

Ich kann durch Umformung eine Zeile zu 0 0 0 | 0 umformen. Soll ich das so machen damit es Sinn ergibt? Sonst kann ich ja bei 4 Zeilen und nur je 3 Elementen keine Zeilenstufenform herstellen...

---

Es muss gar nichts geben, Du sollst ja prüfen, ob lin. unabh. oder nicht.

Du hast drei Elemente in einem vierdim. Raum, das ist kein Problem. Kann lin. unabh. sein (in dem Fall nachweisen, dass alle drei \(\lambda\)s =0 sind) oder lin. abh. (in dem Fall eine Linearkombination der drei angeben, die zu 0 (Nullpolynom) führt).

Zeilenstufenform ist gut um zu erkennen, was vorliegt. Rechne damit mal bis zum Ende.

---

Habe ich bereits. Komme auf

1 0 0 | 0

0 1 0 | 0

0 0 1 | 0

0 0 0 | 0

Das wäre dann ja im Normalfall linear unabhängig. Nur diese letzte Zeile macht mich unsicher.

---

Warum? Das ist doch die schönste Zeile von allen.

---

Also ist es deswegen linear abhängig? Das heißt es ja normalerweise, also wenn es eine Nullzeile gibt.

---

Löse das LGS. Und oben hab ich gesagt, wie man an der Lösung sieht, ob hier lin.unabh. oder abh. vorliegt. Das muss hier sowieso gemacht werden.

---

Ok. Ich habs. Alle λ = 0, somit lin. unabängig. korrekt? Das gelöste LGS ist ja:

1 0 0 | 0

0 1 0 | 0

0 0 1 | 0

0 0 0 | 0

PS: Danke dir aufjedenfall für deine Geduld

---

Ja, genau so ist es. Das gelöste LGS ist übrigens kein LGS (wie es in Deiner Darstellung aussieht), sondern die entsprechende Umstellung zu \(\lambda_1=0\) aus erster Gleichung, \(\lambda_2=0\) aus.... . Das sollte explizit in Deiner Lösung stehen (auch wenn es sich kaum von Deinem LGS unterscheidet; nur der Klarheit halber).

Gern geschehen, hast ja zügig auf den richtigen Weg gefunden.

Answer 2

Hallo

was du mit Oder kann ich hier die Zahlen addieren zu einem 2x3 (mit den 0en) LGS? verstehe ich nicht, du hast 4 koeffizienten von denen du zeigen musst dass sie die 0 Matrix nur ergeben, wenn alle 0 sind. das sind 4 sehr einfach Gleichungen.

die erste etwa a*0+b*0+c*0+d=0 für die posten a11

anderer Weg, du zeigst dass du alle 4  Standardbasisvektoren als linearkombination herstellen kannst.

Gruß lul

Comments

Ah, also lautet das LGS:

0 0 0 0 | 0

0 0 1 1 | 0

0 1 1 1 | 0

1 1 1 1 | 0

Wäre das richtig? Den Rest könnte ich dann alleine.

---

hallo

die erste Zeile ist falsch.

was du bei R3(x) machst sieht sehr falsch aus, das hat doch 4 Komponenten, nicht 3

sie erste Zeile 1+0*x+1*x^2+0*x^3 lautet doch  1 0 1 0  |0

(die 3 sind linear unabhängig) , zeig es!

Gruß lul