Gebietsintegral: Grenzen bestimmen

Question

Aufgabe:

\( \int\limits_{G}^{} \) a^2*b d(a,b), G : {(a,b) ∈ R2 : 0 <= a^2 + b^2 <= 16, b>= 0 }

Problem/Ansatz:

Ich habe schierigkeiten die Grenzen der Gebietes G fuer das Doppelintegral zu bestimmen

Ich dachte vielleicht \( \int\limits_{0}^{16}\int\limits_{0}^{a^2+b^2} a^2\cdot b\) aber das erscheint mir nicht richtig

Answer 1

Deine Umformung kann schon deshalb nicht stimmen, weil die Integrationsvariablen nichts in den äußeren Grenzen zu suchen haben und Du ja auch gar kein Doppelintegral hast.

1. Schritt: Skizziere das Gebiet.

Es gibt nun (mind.) zwei Möglichkeiten: Durchlaufe das Gebiet in waagerechten oder senkrechten Streifen.

Senkrechte Streifen: \(a\) läuft von ... bis ... (aus Skizze ablesen). \(b\) läuft dann von 0 bis \(\sqrt{16-a^2}\). Formuliere das Integral dann als \(\int\limits_{...}^{...}(\int\limits_{...}^{...} ... db)\,da\). Achte genau auf die Reihenfolge und den Bezug.

Zur Übung rechne es auch mit waagerechten Streifen. Der Integralwert am Ende muss derselbe sein.

Answer 2

Alpha :)

Wegen \(0\le a^2+b^2\le16\) ist \(b^2\le16\) und wegen \(b>=0\) können wir \(b\in[0;4]\) frei wählen. Haben wir \(b\) gewählt und halten es fest, muss \(a^2\le16-b^2\) gelten. Das führt uns auf das Integral$$I=\int\limits_{b=0}^4\;\;\int\limits_{a=-\sqrt{16-b^2}}^{\sqrt{16-b^2}}a^2b\,da\,db=\int\limits_{b=0}^4\left[\frac13a^3b\right]_{a=-\sqrt{16-b^2}}^{\sqrt{16-b^2}}db=\int\limits_{b=0}^4\frac{2b}{3}(16-b^2)^{\frac32}db$$$$\phantom I=\left[-\frac{2}{15}(16-b^2)^{\frac52}\right]_{b=0}^4=\frac{2}{15}\cdot16^{\frac52}=\frac{2\cdot4^5}{15}=\frac{2048}{15}$$