Zeigen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung folgendes gilt

Question

Hey, ich bräuchte Hilfe bei folgender Aufgabe:

Seien µ ∈ ℝ und σ ∈ ℝ_>0
(a) Zeigen Sie, dass für die Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung
f(x) =\( \frac{1}{\sqrt{2πσ^{2}}} \) · \( e^{(-\frac{(x-μ)^{2}}{2σ^{2}})} \) gilt, dass

\( \int\limits_{-\infty}^{\infty} \) f(x) dx = 1


b)
Sei Z eine kontinuierliche Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsdichte f. Zeigen Sie,
dass E(Z) = µ und V (Z) = \( σ^{2} \)


Mein Problem ist, dass ich hier überhaupt nicht weiter weiß

Comments

Das ist nicht gerade trivial, wenn man nicht den ansatz kennt und der geht über Poolarkoordinaten. Es reicht zu zeigen, dass das Integral von \( e^{-t^{2}/2}\) existiert, dann natürlich auch die Lokalisationskalenfamilie.

Man zeigt zunächst, dass sich \( \int\limits_{ℝ}^{} \) \( e^{-t^{2}/2}\) als \( \int\) \(\int\limits_{ℝ^2}^{} \) \( e^{-x^{2}-y^{2}/2}\) schreiben lässt, sodass du darauf Poolarkoordinaten anwenden kannst, der Form

\( \int\limits_{0}^{2π} \) \( \int\limits_{0}^{\infty} \) r*\( e^{-r^{2}/2} \) dr dv

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Hallo, danke für deine Antwort, allerdings verstehe ich leider noch nicht so ganz was du da machst. Könntest du das vielleicht etwas mehr erklären? Was hat es mit \( e^{-t^{2}/2} \) auf sich, und warum reicht es zu zeigen, dass das Integral existiert?

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Setze μ=0 und σ=1, dann hast du genau die Funktion, die ich beschrieben habe also die Standard normalverteilung und weil du aus allen Funktionen mit anderen μ, σ die Standardnormalverteilung erhalten kannst. Zusätzlich hast du dann nicht noch diese Konstanten zusätzlich drin, was das ganze schöner macht zu rechnen.

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Und es reicht nur nur dass es existiert sondern dann auch \( \sqrt{2π} \) ist weil dann kürzen sich beide Wurzel Ausdrücke zu 1