Aufgabe:
Es geht um das Taylorpolynom zweiter Ordnung an der Stelle (1,1) von
$$ f : (0, \infty) x \mathbb{R} -> \mathbb{R}, f(x,y) = x^y $$
Wir sollen jetzt $$ 1,05^{1,02} $$ berechnen mit einem Fehler von $$ \leq 10^{-4} $$
Dafür sollen wir bitte $$ \frac{1}{\alpha } |D^{\alpha} f(x, y) | \leq 10^{-5} $$ für alle $$ x \in [1, 1,05], y \in [1, 1,02] $$ und $$ \alpha \in \mathbb{N_0}^2, |\alpha| = 3$$ Für alle anderen Alphas soll dies ohne Beweis angenommen werden.
Wenn man den Hinweis zuerst zeigt erhält man für das Restglied die dritte Ableitung nach x von x^y also
$$ \frac{1}{6} |y \cdot (y−1) \cdot (y−2) \cdot x^{y−3} | \cdot (h_1,h_2) $$ , x=ξ1 und y=ξ2 $$ und $$ ξ1∈[1,1,05];ξ2∈[1,1,02] $$ nun können wir jetzt die beiden größten werte in das restglied einsetzen und erhalten 0,003025.
Das ist aber nicht
$$ 0,003025 \leq 10^{−5} $$ Was müssen wir für das h einsetzen und ist das relevant? Im Hinweis oben steht ja auch nur $$ \frac{1}{\alpha } |D^{\alpha} f(x, y) | \leq 10^{-5} $$ ohne h aber der Wert macht halt kein Sinn, den wir ausrechen...
