Berechnen des Eigenraumes

Question

Aufgabe: Eigenräume zu A= \( \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} \) Bestimmen.Die Eigenwerte sind x₁= 0 und x_2,3= 1.

Problem/Ansatz:

Mein Eigenraum zu x1 ist { \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) *t ; t∈ℝ}

Mein Eigenraum zu x2,3 ist { \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \) *t ; t∈ℝ}

Passt dies so?

Answer 1

Für \(x_1= 0\) passt es.

Für \(x_2= x_3 = 1\) passt es nur zur Hälfte.

Ein zweiter unabhängiger Eigenvektor ist \((1\:\: 0 \:\: 1)^T\).

Ergänzung zum Kommentar:

Eigenraum zu Eigenwert 1:

Du bestimmst

\(\ker (A-I)\) mit \(A-I = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\)

Offenbar ist \(\operatorname{Rang}(A-I)= 1\). Also muss dieser Eigenraum die Dimension 2 haben. Du suchst also nach zwei linear unabhängigen Vektoren im Kern von \(A-I\).

Comments

Und warum (1,0,1)^T ? Und nicht (0,1,0)^T

ich verstehe, dass du den dritten Vektor z.B als t gewählt hast und -1x1 + 1t = 0

Umformungen liefern x1 = t usw....

Aber warum kann man x2 nicht als t wählen?

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Es hat doch keiner gesagt, dass Dein EV (0,1,0)^T falsch ist.

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@PeterMagMathe

Ich hab zu deiner Frage etwas in meiner Antwort ergänzt.

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Ok, ich habe es verstanden, ich danke euch :)