Aufgabe:
Text erkannt:
Sei \( I \subset \mathbb{R} \) und \( M:=\left\{f: I \rightarrow \mathbb{R}:\|f\|_{\infty}<\infty\right\} \) die Menge der beschränkten Funktionen.
Ordnen Sie die folgenden Blöcke so an, dass sie einen vollständigen Beweis für die Aussage "Falls \( f, g \in M \), dann ist für \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) auch die Funktion \( (\alpha f+\beta g) \in M \)." ergeben.
Hinweis: Nicht alle Blocke werden benotigt.
ACHTUNG: Sie haben hier nur einen Versuch!
Wählen Sie aus diesen Bausteinen:
\( \leq|\alpha||f(x)|+|\beta \| g(x)| \)
\( \mathrm{Da}(\alpha f+\beta g)(x)=\alpha f(x)+\beta g(x) \)
\(\mathrm{Da}(\alpha f+\beta g)(x)=f(\alpha x)+g(\beta x)\)
\( \text { ist }|(\alpha f+\beta g)(x)|=|\alpha f(x)+\beta g(x)| \)
Seien \( f, g \in M \). Wir betrachten die Funktionen \( \alpha f, \beta g \) für \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).
Da \( f, g \in M \) gilt dass \( \|f\|_{\infty}<\infty,\|g\|_{\infty}<\infty \),
Seien \( f, g \in M \). Wir betrachten die Funktion \( \alpha f+\beta g \) für \( \alpha, \beta \in \mathbb{R} \).
und somit \( \|(\alpha f+\beta g)\|_{\infty} \geq|\alpha|\|f\|_{\infty}+|\beta|\|g\|_{\infty} \).
also \( \|(\alpha f+\beta g)\|_{\infty}<\infty \), d.h. \( (\alpha f+\beta g) \in M \).
und somit \( \|(\alpha f+\beta g)\|_{\infty} \leq|\alpha|\|f\|_{\infty}+|\beta|\|g\|_{\infty} \).
also \( \|(\alpha f+\beta g)\|_{\infty} \leq \infty \), d.h. \( (\alpha f+\beta g) \in M \).
ist \( |(\alpha f+\beta g)(x)|<|f(\alpha x)|+|g(\beta x)| \)
Problem/Ansatz:
Ich tue mich schwer bei Aufgaben mit Beweisen, daher bräuchte ich bestenfalls einmal Hilfe, um die Aufgabe zu lösen!
Wäre super, wenn mir jemand aushelfen könnte, damit ich den Bonuspunkt für meine Klausur kriege! Danke <3
