Zeige, dass die Menge aller Nullfolgen abgeschlossen in der Menge aller beschränkten Folgen ist

Question

Aufgabe:

Zeige das die Menge aller Nullfolgen

abgeschlossen in der Menge aller beschränkten Folgenist.

Problem/Ansatz:

$$\text{ Da jede konvergente Folge beschränkt ist gilt: }c_{0} \subset l^ {\infty} \subset \mathbb{R}^{n}\\\text{ Somit muss also gezeigt werden, dass} (x_{k})_{k\in \mathbb{N}}\text{ eine Folge in } c_{0}\text{ ist mit }\lim\limits_{k\to\infty} x_{k} = x \in l^{\infty}\text{ dann folgt } x \in c_{0}. \\\text{ Ich weiß allerdings nicht ob dieser Ansatz richtig ist und wie ich an dieser Stelle weiter machen soll. } \\\text{ Ich habe einen ähnlichen Ansatz in einem Übungsbuch gefunden.} \\\text{ Allerdings verstehe ich die Schreibweise dort nicht. } \\\text{Diese lautet wie folgt:}\\ a = (a_{i}) \in l^\infty \text{ und } a^{(n)} \in c_{0}.\text{ Warum wird das n hier hochgestellt? }$$

Answer 1

Hi,

nehme eine Folge \( x^{(n)}_{n \in \mathbb{N}} \in c_0 \) die gegen eine Folge \( x \in l^\infty \) konvergiert. Dann gilt, es gibt ein \( n_0 \in \mathbb{N} \) s.d. für jedes \( \varepsilon > 0 \) und \( n \ge n_0 \) gilt

$$ \| x^{(n)} - x \|_\infty < \frac{\varepsilon}{2} $$

Weil \( x^{(n_0)} \in c_0 \) gibt es ein \( k_0 \in \mathbb{N} \) s.d. für \( k \ge k_0 \) gilt \( \left| x^{(n_0)}_k \right| < \frac{\varepsilon}{2}\)

Für \( k \ge k_0 \) gilt also

$$ \left| x_k \right| \le \left| x_k - x^{(n_0)}_k \right| + \left| x^{(n_0)}_k \right| \le \| x - x^{(n_0} \|_\infty + \left| x^{(n_0)}_k \right| \le \varepsilon $$

Also gilt \( x \in c_0 \)

Answer 2

hochstellen damit man es von den a_i unterscheiden kann

lul